Assinale o resultado da operação seguinte:
\frac{10^{3} \times\left(10^{2}\right)^{3} \times \sqrt{10^{-6}}}{10^{-5}}
a) 10^{11}
b) 10^{8}
c) 10
d) 10^{-2}
e) 10^{-3}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o valor da expressão
\frac{10^{3}\times\left(10^{2}\right)^{3}\times\sqrt{10^{-6}}}{10^{-5}}
e assinale a alternativa correta entre:
(a) 10^{11}, (b) 10^{8}, (c) 10, (d) 10^{-2}, (e) 10^{-3}.

Passo 2

Vamos listar as regras de potências que usarei (explicando cada uma):
  • Produto de potências de mesma base: se a base é a e os expoentes são m e n, então
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Isto diz que ao multiplicar potências com mesma base somam-se os expoentes.
  • Potência de potência: se a é a base, então
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\cdot n}.
Isto significa multiplicar os expoentes.
  • Raiz quadrada como potência: para qualquer expoente p,
\sqrt{a^{p}}=\left(a^{p}\right)^{1/2}=a^{p/2}.
Ou seja, a raiz quadrada é a potência com expoente 1/2.
  • Divisão de potências de mesma base:
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Ou seja, subtrai-se os expoentes.

Passo 3

Aplicar a regra “potência de potência” em \left(10^{2}\right)^{3}:
\left(10^{2}\right)^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}.
Explicando: multiplica-se os expoentes 2 e 3.

Passo 4

Calcular \sqrt{10^{-6}} usando expoente fracionário:
\sqrt{10^{-6}}=\left(10^{-6}\right)^{1/2}=10^{-6\cdot\frac{1}{2}}=10^{-3}.
Explicando: multiplicou-se -6 por 1/2 para obter -3.

Passo 5

Substituir os resultados na expressão original. A expressão vira
\frac{10^{3}\times 10^{6}\times 10^{-3}}{10^{-5}}.

Passo 6

Usar a regra do produto de potências (somar expoentes) no numerador:
10^{3}\times 10^{6}\times 10^{-3}=10^{3+6+(-3)}=10^{6}.
Expliquei: somei os expoentes 3, 6 e -3 e obtive 6.

Passo 7

Agora dividir pelo denominador usando a regra da divisão (subtrair expoentes):
\frac{10^{6}}{10^{-5}}=10^{6-(-5)}=10^{6+5}=10^{11}.

Resposta

a) 10^{11}

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