O tempo de vida (em anos), de um equipamento eletrônico, é modelado por uma v.a. com distribuição exponencial de parâmetro 2; isto é, tem densidade dada por
a) Determine a função de distribuição de X. (1,00 ponto)
Solução:
Observe que
x<0 Rightarrow F(x)=integral-infty^x 0 d t=0
e
x >= 0 Rightarrow F(x)=integral-infty^0 0 d t+integral0^x 2 e^-2 t d t=1-e^-2 x
Logo,
F(x)=l 0, x<0 1-e^-2 x, x >= 0
Observações: 0,25 pela primeira parte, 0,50 pela segunda parte e 0,25 pela resposta.
b) Este equipamento vive, em média, quanto tempo? (1,00 ponto)
Solução:
A média de X é dada por
E(X)=integral-infty^infty x f(x) d x=integral0^infty x cdot 2 e^-2 x d x=1 / 2
Portanto, o equipamento vive, em média, 6 meses.
Observações: 0,25 pela integral, 0,50 pela resolução e 0,25 pela resposta.
c) Qual a probabilidade, de um equipamento escolhido ao acaso, viver mais de 1 ano? (1,00 ponto)
Solução:
A probabilidade pedida vale
P(X>1)=1-P(0<X<1)=integral0^1 2 e^-2 x d x=e^-2=0,1353
Observações: 0,25 pela probabilidade, 0,25 pela integral e 0,50 pela resolução.
Passo 1
Neste exercício, a variável aleatória X representa o tempo de vida (em anos) de um equipamento e segue distribuição exponencial com parâmetro lambda=2. Vamos encontrar:
A função de distribuição acumulada de X.
O valor esperado (média) de X.
A probabilidade de que o equipamento viva mais que um ano.
Passo 2
Para obter a função de distribuição
F(x)=P(X<= x)=integral-infty^xf(t),dt,
lembramos que f(t)=0 para t<0 e f(t)=2e^-2t para t>=0.
Se x<0,