Questão 2

O tempo de vida X (em anos), de um equipamento eletrônico, é modelado por uma v.a. com distribuição exponencial de parâmetro 2; isto é, X tem densidade dada por
f(x)=l 2 e^-2 x, x >= 0 0, x<0
a) Determine a função de distribuição de X. (1,00 ponto)

Solução:

Observe que
x<0 Rightarrow F(x)=integral-infty^x 0 d t=0
e
x >= 0 Rightarrow F(x)=integral-infty^0 0 d t+integral0^x 2 e^-2 t d t=1-e^-2 x
Logo,
F(x)=l 0, x<0 1-e^-2 x, x >= 0
Observações: 0,25 pela primeira parte, 0,50 pela segunda parte e 0,25 pela resposta.
b) Este equipamento vive, em média, quanto tempo? (1,00 ponto)

Solução:

A média de X é dada por
E(X)=integral-infty^infty x f(x) d x=integral0^infty x cdot 2 e^-2 x d x=1 / 2
Portanto, o equipamento vive, em média, 6 meses.
Observações: 0,25 pela integral, 0,50 pela resolução e 0,25 pela resposta.
c) Qual a probabilidade, de um equipamento escolhido ao acaso, viver mais de 1 ano? (1,00 ponto)

Solução:

A probabilidade pedida vale
P(X>1)=1-P(0<X<1)=integral0^1 2 e^-2 x d x=e^-2=0,1353
Observações: 0,25 pela probabilidade, 0,25 pela integral e 0,50 pela resolução.

Passo 1

Neste exercício, a variável aleatória X representa o tempo de vida (em anos) de um equipamento e segue distribuição exponencial com parâmetro lambda=2. Vamos encontrar:
  1. A função de distribuição acumulada de X.
  2. O valor esperado (média) de X.
  3. A probabilidade de que o equipamento viva mais que um ano.

Passo 2

Para obter a função de distribuição
F(x)=P(X<= x)=integral-infty^xf(t),dt,
lembramos que f(t)=0 para t<0 e f(t)=2e^-2t para t>=0.
Se x<0,
F(x)=integral-infty^x0,dt=0
Se x>=0,
F(x)=integral-infty^00,dt+integral0^x2e^-2t,dt =integral0^x2e^-2t,dt =l[-e^-2tr]0^x =1-e^-2x

Passo 3

Para calcular a média
E(X)=integral0^inftyx,f(x),dx =integral0^inftyxcdot2e^-2x,dx,
usamos integração por partes com u=x e dv=2e^-2xdx, o que dá
E(X) =l[-x e^-2xr]0^infty+integral0^inftye^-2x,dx =0 +l[-tfrac12e^-2xr]0^infty =tfrac12
Portanto, a média é tfrac12 anos, isto é tfrac12times12= 6 meses.

Passo 4

A probabilidade de o equipamento viver mais de um ano é
P(X>1)=1-F(1)
Como F(1)=1-e^-2cdot1=1-e^-2, segue
P(X>1)=1-(1-e^-2)=e^-2approx0,1353

Resposta

a) F(x)= 0, & x<0, 1-e^-2x, & x>=0
b) E(X)=tfrac12 anos (ou 6 meses).
c) P(X>1)=e^-2approx0,1353

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