Verifique o Teorema de Gauss para o campo
no sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente verificar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para o campo
no sólido
limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. O Teorema de Gauss diz que
Vamos então calcular os dois lados (fluxo pela superfície e integral de volume) e mostrar que dão o mesmo valor.
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Gauss, primeiro calcule a divergência de
:
Logo, a integral de volume fica
$$
\iiint_{\Omega} (\nabla\cdot\vec F),dV = 3 \iiint_{\Omega} dV = 3 \cdot Vol(\Omega).
Vol(\Omega) = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{2}!\int_{r2}{4} r,dz,dr,d\theta = 2\pi \int_{0}^{2} r(4 - r^2),dr = 8\pi.
$$
Assim, a integral de volume é .
Assim, a integral de volume é
Passo 3
Agora vamos computar o fluxo
como soma dos fluxos pela base paraboloide e pelo topo (plano
).
Para o paraboloide
e norma externa, o vetor de superfície é
e
. Então
Em polares (
) e
,
, temos
Passo 4
Para o plano
, a norma externa é
e
, então
. A região de projeção é o disco
de área
. Logo
Passo 5
Somando os dois fluxos:
o mesmo valor que a integral de volume. Portanto, o Teorema de Gauss está verificado para este caso.
Resposta
24\pi