Verifique o Teorema de Gauss para o campo F(x, y, z)=(x, y, z) no sólido Omega limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede pra gente verificar o Teorema de Gauss (ou Divergência) para o campo vec F(x,y,z)=(x,y,z) no sólido Omega limitado pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=4. O Teorema de Gauss diz que
integral duplapartialOmegavec Fcdotvec n,dS = integral triplaOmega(nablacdotvec F),dV
Vamos então calcular os dois lados (fluxo pela superfície e integral de volume) e mostrar que dão o mesmo valor.

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Gauss, primeiro calcule a divergência de vec F:
nablacdotvec F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3
Logo, a integral de volume fica
$$
\iiint_{\Omega} (\nabla\cdot\vec F),dV = 3 \iiint_{\Omega} dV = 3 \cdot Vol(\Omega).
integral triplaOmega (nablacdotvec F),dV = 3 integral triplaOmega dV = 3 cdot Vol(Omega) íã
Vol(\Omega) = \int_{0}{2\pi}!\int_{0}{2}!\int_{r2}{4} r,dz,dr,d\theta = 2\pi \int_{0}^{2} r(4 - r^2),dr = 8\pi.
$$
Assim, a integral de volume é 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Agora vamos computar o fluxo integral duplapartialOmegavec Fcdotvec n,dS como soma dos fluxos pela base paraboloide e pelo topo (plano z=4).
Para o paraboloide z=f(x,y)=x^2+y^2 e norma externa, o vetor de superfície é
vec dS = (fx, fy, -1),dA = (2x,2y,-1),dA,
e vec F=(x,y,z)=(x,y,x^2+y^2). Então
vec Fcdotvec dS = 2x^2 + 2y^2 - (x^2+y^2) = x^2+y^2
Em polares ( x^2+y^2=r^2) e 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi, temos
Phiparab = integral0^2pi!integral0^2 r^2 cdot r,dr,dtheta = 2pi integral0^2 r^3,dr = 8pi

Passo 4

Para o plano z=4, a norma externa é vec n=(0,0,1) e vec F=(x,y,4), então vec Fcdotvec n=4. A região de projeção é o disco x^2+y^2<=4 de área 4pi. Logo
Phiplano = integraldisco 4,dA = 4 times 4pi =16pi

Passo 5

Somando os dois fluxos:
PhipartialOmega = Phiparab + Phiplano = 8pi + 16pi = 24pi,
o mesmo valor que a integral de volume. Portanto, o Teorema de Gauss está verificado para este caso.

Resposta

24\pi

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