A série tem termo geral a_n = n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
Todos os termos a_n são positivos (porque n>0 e \dfrac{2}{3}>0).
A pergunta é: a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Observação importante para este tipo de pergunta: é preciso lembrar a diferença entre convergência absoluta e condicional:
Uma série é absolutamente convergente se \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge.
É condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
Como o termo geral é não negativo, vale |a_n|=a_n. Isso significa que, para esta série, “convergência” e “convergência absoluta” coincidem — mas ainda precisamos testar a convergência.
Passo 2
Apresentar o teste que vou usar (explicando o conceito): o Teste da Razão (d’Alembert).
Enunciado do teste da razão: para uma série \sum a_n com a_n\neq0, calculeL=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente.
Se L>1 (incluindo +\infty), a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição curta e útil: o teste compara o decaimento dos termos com uma progressão geométrica; se o fator limite L é menor que 1, os termos decaem geometricamente e a soma converge.
Passo 3
Aplicar o Teste da Razão ao nosso a_n.
Primeiro escrevo explicitamente a_n:a_n = n\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{n\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}} =\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2}{3}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\right)\cdot\frac{2}{3} =1\cdot\frac{2}{3} =\frac{2}{3}.Aqui usei que \lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n}=1 (porque \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to0).
Passo 4
Interpretação do resultado do teste da razão.
Encontramos L=\dfrac{2}{3}. Como \dfrac{2}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum a_n converge absolutamente.
Lembrete: como |a_n|=a_n (termos positivos), dizer “converge absolutamente” é equivalente a dizer simplesmente “converge” neste caso, mas a classificação pedida é “absolutamente convergente”.
Passo 5
Complemento didático — fórmula útil que frequentemente aparece em provas (e que permite também calcular a soma):
Para |r|<1 vale a identidade clássica (obtida diferenciando a série geométrica):\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\frac{r}{(1-r)^{2}}.Breve derivação (passo a passo):
A série geométrica é \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\dfrac{1}{1-r} para |r|<1.
Diferenciando ambos os lados em relação a r obtém-se \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1}=\dfrac{1}{(1-r)^{2}}.
Multiplicando por r vem \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n}=\dfrac{r}{(1-r)^{2}}.
Aplicando com r=\dfrac{2}{3} (apenas para informação extra, não exigido na pergunta):\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(1-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{9}} =\frac{2}{3}\cdot 9 =6.Então a série converge e sua soma vale 6. Isso confirma a convergência e dá um resultado numérico útil para a prova.
Passo 6
Resumo final e dica prática para a prova:
Se encontrar séries do tipo n r^{n} com |r|<1, o Teste da Razão é rápido (o limite será r) e a série converge absolutamente. Também é bom decorar a fórmula \sum_{n=1}^\infty n r^n=\dfrac{r}{(1-r)^2} para poder calcular a soma quando pedirem.
Força aí! Esse tipo de série é um dos que costumam aparecer com pegadinha pequena, mas com esse procedimento você resolve rapidinho.