Questão 1: Um torneiro mecânico faz um furo de diâmetro igual a
em uma placa de aço a uma temperatura de
. Qual é a área da seção reta do orifício (a) a
.; (b) quando a temperatura da placa aumenta para
.? suponha que o coeficiente de dilatação linear permaneça constante nesse intervalo de temperatura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
- Diâmetro inicial do orifício à temperatura
: - A temperatura final é
- Pede-se:
(a) a área da seção reta do orifício à;
(b) a área da seção quando a placa atinge - O enunciado pede para supor que o coeficiente de dilatação linear permanece constante. Como o problema não fornece o valor de
para o aço, vou usar um valor típico para aço carbono: Se o seu professor pedir outro , basta substituir e refazer a conta — o procedimento é o mesmo.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
- Dilatação linear: quando um comprimento qualquer
é aquecido, o novo comprimento é dado por
onde
é o coeficiente de dilatação linear (unidade
) e
é a variação de temperatura. Aqui
pode ser o diâmetro inicial do furo.
- Dilatação de áreas: se todas as dimensões lineares se dilatam com o mesmo fator
, uma área passa a
porque a área é proporcional ao produto de duas dimensões lineares (por exemplo, diâmetro em duas direções). Para pequenas variações, pode-se aproximar
, mas aqui usaremos a forma exata com o quadrado — é simples e mais precisa.
Passo 3
Cálculo da área inicial à
:
- Primeiro converto o diâmetro em raio:
- A área de um círculo é
Explicando a fórmula: é a constante (aprox. ), é o raio; então multiplicamos pelo quadrado do raio. - Calculemos passo a passo:
Posso arredondar conforme necessidade, mas guardarei algumas casas decimais para usar no próximo passo.
Passo 4
Cálculo da área à
:
- Variação de temperatura:
- Fator linear de dilatação do diâmetro:
Explicando: multiplicamos o coeficiente por quantos graus a mais tivemos e somamos 1 para obter o fator multiplicativo do comprimento. - Fator de área (quadrado do fator linear):
Expliquei antes por que é o quadrado: a área resulta do produto de duas dimensões lineares. - Agora aplicamos à área inicial:
- Resultado arredondado (mantendo dígitos razoáveis):
Passo 5
Interpretações e checagem rápida:
- A área inicial que calculamos foi
- Após aquecer
, a área aumentou pouco, para Isso faz sentido: o aumento percentual é pequeno porque é pequeno; usando a aproximação teríamos incremento aproximado de , ou seja cerca de , compatível com os números acima. - Se quiser os resultados com menos ou mais casas decimais (por exemplo, três algarismos significativos), arredonde os valores finais para
e respectivamente.