Questão 1: Um torneiro mecânico faz um furo de diâmetro igual a 1,35 \mathrm{~cm} em uma placa de aço a uma temperatura de 25,0^{\circ} \mathrm{C}. Qual é a área da seção reta do orifício (a) a 25,0^{\circ} \mathrm{C}.; (b) quando a temperatura da placa aumenta para 175,0^{\circ} \mathrm{C}.? suponha que o coeficiente de dilatação linear permaneça constante nesse intervalo de temperatura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo:
  • Diâmetro inicial do orifício à temperatura 25,0^{\circ}\mathrm{C}: \;d_0=1,35\\ \mathrm{cm}.
  • A temperatura final é \;T=175,0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Pede-se:
    (a) a área da seção reta do orifício à \;25,0^{\circ}\mathrm{C};
    (b) a área da seção quando a placa atinge \;175,0^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede para supor que o coeficiente de dilatação linear permanece constante. Como o problema não fornece o valor de \alpha para o aço, vou usar um valor típico para aço carbono: \;\alpha = 1,20\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}. Se o seu professor pedir outro \alpha, basta substituir e refazer a conta — o procedimento é o mesmo.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Dilatação linear: quando um comprimento qualquer L_0 é aquecido, o novo comprimento L é dado por
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr),
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}) e \Delta T = T - T_0 é a variação de temperatura. Aqui L_0 pode ser o diâmetro inicial do furo.
  • Dilatação de áreas: se todas as dimensões lineares se dilatam com o mesmo fator (1+\alpha\Delta T), uma área A_0 passa a
A = A_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^2,
porque a área é proporcional ao produto de duas dimensões lineares (por exemplo, diâmetro em duas direções). Para pequenas variações, pode-se aproximar A\approx A_0\bigl(1+2\alpha\Delta T\bigr), mas aqui usaremos a forma exata com o quadrado — é simples e mais precisa.

Passo 3

Cálculo da área inicial à \;25,0^{\circ}\mathrm{C}:
  • Primeiro converto o diâmetro em raio: \;r_0 = d_0/2 = \dfrac{1,35}{2} = 0,675\\ \mathrm{cm}.
  • A área de um círculo é \;A_0 = \pi r_0^2. Explicando a fórmula: \pi é a constante (aprox. 3{,}14159), r_0 é o raio; então multiplicamos \pi pelo quadrado do raio.
  • Calculemos passo a passo: r_0^2 = (0,675)^2 = 0,455625\\ \mathrm{cm}^2.
A_0 = \pi \cdot 0,455625 \approx 1,431388153\\ \mathrm{cm}^2.
Posso arredondar conforme necessidade, mas guardarei algumas casas decimais para usar no próximo passo.

Passo 4

Cálculo da área à \;175,0^{\circ}\mathrm{C}:
  • Variação de temperatura: \Delta T = 175,0^\circ\mathrm{C} - 25,0^\circ\mathrm{C} = 150,0^\circ\mathrm{C}.
  • Fator linear de dilatação do diâmetro: 1 + \alpha\,\Delta T = 1 + \bigl(1,20\times 10^{-5}\bigr)\cdot 150,0 = 1 + 0,0018 = 1,0018.Explicando: multiplicamos o coeficiente por quantos graus a mais tivemos e somamos 1 para obter o fator multiplicativo do comprimento.
  • Fator de área (quadrado do fator linear): \bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^2 = (1,0018)^2 = 1,00360324.Expliquei antes por que é o quadrado: a área resulta do produto de duas dimensões lineares.
  • Agora aplicamos à área inicial: A = A_0\cdot 1,00360324 \approx 1,431388153 \times 1,00360324 \approx 1,436545788\\ \mathrm{cm}^2.
  • Resultado arredondado (mantendo dígitos razoáveis): \;A\approx 1,4365\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Interpretações e checagem rápida:
  • A área inicial que calculamos foi \;A_0\approx 1,4314\\ \mathrm{cm}^2.
  • Após aquecer 150,0^\circ\mathrm{C}, a área aumentou pouco, para \;A\approx 1,4365\\ \mathrm{cm}^2. Isso faz sentido: o aumento percentual é pequeno porque \alpha é pequeno; usando a aproximação 2\alpha\Delta T teríamos incremento aproximado de 2\cdot 1{,}20\times 10^{-5}\cdot 150{,}0 = 0{,}0036, ou seja cerca de 0{,}36\%, compatível com os números acima.
  • Se quiser os resultados com menos ou mais casas decimais (por exemplo, três algarismos significativos), arredonde os valores finais para 1,43\\ \mathrm{cm}^2 e 1,44\\ \mathrm{cm}^2 respectivamente.

Resposta

A(25,0^{\circ}\mathrm{C}) = 1,4314\\ \mathrm{cm}^2\n
A(175,0^{\circ}\mathrm{C}) = 1,4365\\ \mathrm{cm}^2

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