Questão 2. (Total: 2 pontos) Calcule as seguintes integrais
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{t^{3}}+\cos t \operatorname{sen}^{4} t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\Bigl(\frac{1}{t^{3}}+\cos t\,\sin^{4}t\Bigr)\,dt.
O conteúdo envolve duas partes:
  1. integração de potência t^{-3}, usando a fórmula \int t^{n}dt=t^{n+1}/(n+1);
  2. integração de termo trigonométrico \cos t\,\sin^{4}t, usando substituição u=\sin t.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{t^{3}}\,dt \quad\text{e}\quad \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,\sin^{4}t\,dt.

Passo 3

Calculemos
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{1}{t^{3}}\,dt =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}t^{-3}\,dt.
Pela regra \int t^{n}dt=t^{n+1}/(n+1) (com n=-3), temos
\int t^{-3}dt =\frac{t^{-2}}{-2} =-\frac{1}{2t^{2}}.
Avaliando de t=\tfrac{\pi}{2} até t=\pi, dá
\left[-\frac{1}{2t^{2}}\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} =-\frac{1}{2\pi^{2}} -\Bigl(-\frac{1}{2(\frac{\pi}{2})^{2}}\Bigr) =-\frac{1}{2\pi^{2}}+\frac{1}{2\bigl(\frac{\pi^{2}}{4}\bigr)} =-\frac{1}{2\pi^{2}}+\frac{2}{\pi^{2}} =\frac{3}{2\pi^{2}}.

Passo 4

Agora a segunda parcela:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,\sin^{4}t\,dt.
Fazemos u=\sin t, então du=\cos t\,dt. Os limites mudam: quando t=\frac{\pi}{2}, u=1; quando t=\pi, u=0. Logo
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\cos t\,\sin^{4}t\,dt =\int_{u=1}^{u=0}u^{4}\,du =\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{1}^{0} =\frac{0^{5}}{5}-\frac{1^{5}}{5} =-\frac{1}{5}.

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
\frac{3}{2\pi^{2}} \;-\;\frac{1}{5} \;=\;\frac{15}{10\pi^{2}}-\frac{2\pi^{2}}{10\pi^{2}} =\frac{15-2\pi^{2}}{10\pi^{2}}.

Resposta

\frac{3}{2\pi^{2}}-\frac{1}{5} \quad\text{ou}\quad \frac{15-2\pi^{2}}{10\pi^{2}}.

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