Questão 2. (Total: 2 pontos) Calcule as seguintes integrais
\int_{1}^{2}(x+1) x+\sqrt[3]{x^{2}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\bigl((x+1)x + \sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,\mathrm{d}x.
O conteúdo aqui é aplicação da regra do poder para funções polinomiais e potenciais. Vamos precisar expandir o integrando, escrever todas as potências como x^{n} e usar
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad (n\neq -1).

Passo 2

Expandimos (x+1)x:
(x+1)x = x^2 + x.
Além disso,
\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}.
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\int_{1}^{2}\bigl((x+1)x + \sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2}x^2\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}x\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2}x^{2/3}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Aplicando a regra do poder a cada parcela:
\int x^2\,\mathrm{d}x = \frac{x^3}{3}, \quad \int x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2}, \quad \int x^{2/3}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}\,x^{5/3}.

Passo 4

Portanto, uma antiderivada comum é
F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + \frac{3}{5}\,x^{5/3}.
A integral definida vale F(2)-F(1).

Passo 5

Calculamos F(2) e F(1):
Para x=2:
F(2) = \frac{8}{3} + 2 + \frac{3}{5}\,2^{5/3} = \frac{14}{3} + \frac{3}{5}\cdot 2\cdot 2^{2/3} = \frac{14}{3} + \frac{6}{5}\,2^{2/3}.
Para x=1:
F(1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{3}{5} = \frac{10}{30} + \frac{15}{30} + \frac{18}{30} = \frac{43}{30}.
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\int_{1}^{2}\bigl((x+1)x + \sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,\mathrm{d}x = F(2) - F(1) = \Bigl(\frac{14}{3} - \frac{43}{30}\Bigr) + \frac{6}{5}\,2^{2/3} = \frac{97}{30} + \frac{6}{5}\,2^{2/3}.

Resposta

\frac{97}{30} + \frac{6}{5}\,2^{2/3}.

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