Calcular f^{\prime}(x) nos seguintes casos:
f(x)=\operatorname{cossec}(x+\cos (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\operatorname{cossec}\bigl(x+\cos(x)\bigr). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada da função trigonométrica cossecante.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x+\cos(x),
de modo que
f(x)=\operatorname{cossec}\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Aplicamos a derivada da função externa \operatorname{cossec}(u). Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{cossec}(u)\bigr] =-\operatorname{cossec}(u)\,\cot(u).

Passo 4

Calculamos a derivada da função interna u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x+\cos(x)\bigr] =1-\sin(x).

Passo 5

Pela regra da cadeia, juntamos as duas derivadas:
f'(x) =\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{cossec}(u)\bigr]\Big|_{u=u(x)}\times u'(x) =-\operatorname{cossec}\bigl(u(x)\bigr)\,\cot\bigl(u(x)\bigr)\,(1-\sin(x)).

Resposta

f'(x)=-\operatorname{cossec}\bigl(x+\cos(x)\bigr)\,\cot\bigl(x+\cos(x)\bigr)\,\bigl(1-\sin(x)\bigr).

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