Questão 4. (2,5 pontos) Calcule as seguintes integrais
\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\bigl(1 + x^2\bigr)^2}\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição trigonométrica para transformar essa razão em algo envolvendo funções trigonométricas, que a gente sabe integrar.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \tan\theta,\quad dx = \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
Então
1 + x^2 = 1 + \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta,
e
\frac{1}{\bigl(1 + x^2\bigr)^2}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sec}^4\theta}\,\bigl(\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta\bigr) = \cos^2\theta\,d\theta.
Logo a integral vira
\int \cos^2\theta\,d\theta.

Passo 3

Para integrar \cos^2\theta, usamos a identidade do ângulo duplo:
\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.
Então
\int \cos^2\theta\,d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C.

Passo 4

Reescrevendo \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, fica
\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\,\cos\theta}{2} + C.
Agora voltamos a x. Como x=\tan\theta, temos
\theta = \arctan(x), \quad \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}, \quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.
Logo
\sin\theta\,\cos\theta = \frac{x}{1+x^2},
e a antiderivada final é
\frac{\arctan(x)}{2} + \frac{x}{2\,(1+x^2)} + C.

Resposta

\int \frac{1}{\bigl(1 + x^2\bigr)^2}\,dx = \frac{1}{2}\,\arctan(x) \;+\; \frac{x}{2\,(1+x^2)} \;+\; C.

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