Questão 2 [Total:
] Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada com densidade de carga
dentro de outra casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
que também é uniformemente carregada com densidade de carga
. Encontre o campo elétrico no ponto
a uma distância
do centro comum tal que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos duas cascas esféricas não condutoras:
-
Primeira casca:
- Raio interno: $ a_1 $
- Raio externo: $ b_1 $
- Densidade de carga: $ \rho_1 $
-
Segunda casca:
- Raio interno: $ a_2 $
- Raio externo: $ b_2 $
- Densidade de carga: $ \rho_2 $
Precisamos encontrar o campo elétrico no ponto $ P $ que está a uma distância $ r $ do centro comum, onde $ a_2 < r < b_2 $.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos usar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações de simetria esférica.
O que vamos precisar:
- Compreender a Lei de Gauss.
- Saber calcular a carga total dentro de uma superfície gaussiana.
- Aplicar a simetria esférica para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual casca está contribuindo para o campo elétrico no ponto $ P $. Como $ a_2 < r < b_2 $, o ponto $ P $ está situado dentro da segunda casca, mas fora da primeira casca.
Na Lei de Gauss, apenas as cargas que estão dentro da superfície gaussiana contribuem para o campo elétrico. Portanto, precisamos determinar quais cargas estão dentro de uma esfera de raio $ r $.
Passo 3
Vamos calcular a carga total dentro da esfera gaussiana de raio $ r $. Como o ponto $ P $ está dentro da segunda casca, mas fora da primeira, a única contribuição para a carga interna vem da segunda casca.
A densidade de carga da segunda casca é $ \rho_2 $, e estamos considerando o volume da segunda casca que está dentro de $ r $.
A carga total $ Q_{int} $ dentro da esfera de raio $ r $ é:
Como $ a_2 < r < b_2 $, o volume é a diferença entre o volume de uma esfera de raio $ r $ e uma esfera de raio $ a_2 $:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Devido à simetria esférica, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e é radial. Assim, a integral de fluxo elétrico simplifica para:
Passo 5
Substituindo $ Q_{int} $ na equação acima:
Podemos simplificar os $ 4 \pi $ em ambos os lados:
Resolvendo para $ E $:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: