Questão 1:(6 pts) Responda:
a) (4 pts) Um espaço vetorial real é um conjunto
, nāo vazio, com duas operaçōes: soma,
e multiplicação por escalar
, tais que para todo
e
satisfaz as seguintes propriedades: …
Descreva quais são essas propriedades.
b)(2 pts) O Conjunto
pode ser um espaço vetorial? Justifique sua resposta.
a) (4 pts) Um espaço vetorial real é um conjunto
b)(2 pts) O Conjunto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Descrever todas as propriedades (axiomas) que um conjunto
não-vazio com operações soma e multiplicação por escalar deve satisfazer para ser um espaço vetorial real, onde e . - (b) Dizer se o conjunto
pode ser um espaço vetorial (com as operações usuais de ) e justificar a resposta.
Informações dadas que usaremos:
- Há duas operações: soma
e multiplicação por escalar . - Variáveis indicadas:
e .
Passo 2
Vamos listar e explicar, uma a uma, as propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial real. Primeiro, nota importante: algumas fontes apresentam 8 axiomas essenciais (assumindo que as operações são de fato com imagem em
); outras detalham fechamento separadamente. Vou escrever os axiomas de forma explícita e intuitiva, com o que cada letra significa.
Axioma 1 — fechamento da soma:
Explicação: quando somo dois vetores do conjunto, o resultado precisa permanecer no conjunto. Se isso falhar, não dá para ser espaço vetorial.
Passo 3
Axioma 2 — associatividade da soma:
Explicação: a ordem de agrupar somas não altera o resultado. Isso permite somar sem ambiguidade.
Axioma 3 — existência de elemento nulo (identidade aditiva):
Explicação: deve haver um vetor
em
que não altera nenhum vetor pela soma. Em geral chamamos esse vetor de “vetor zero”.
Passo 4
Axioma 4 — existência de inverso aditivo:
Explicação: para cada vetor existe outro vetor no conjunto que soma com ele dando o vetor zero. Observação útil (propriedade decorrente): o inverso aditivo é único.
Axioma 5 — comutatividade da soma:
Explicação: a soma é comutativa; trocar a ordem não muda o resultado.
Passo 5
Agora os axiomas que envolvem a multiplicação por escalares.
Axioma 6 — fechamento na multiplicação por escalar:
Explicação: multiplicar um vetor do conjunto por um escalar real deve dar outro vetor do conjunto.
Axioma 7 — compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade entre escalares):
Explicação: primeiro multiplicar
por
e depois por
é o mesmo que multiplicar por
.
Passo 6
Axioma 8 — identidade escalar:
onde
é o elemento neutro da multiplicação em
.
Explicação: multiplicar por não altera o vetor.
Explicação: multiplicar por
Axioma 9 — distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
Explicação: distribuir o escalar sobre uma soma de vetores dá a soma dos vetores escalados.
Axioma 10 — distributividade da soma de escalares sobre vetor:
Explicação: somar escalares e depois multiplicar pelo vetor é o mesmo que multiplicar separadamente e somar os resultados.
Observação: algumas listas combinam/omittem fechamento explícito, ficando com 8 axiomas clássicos; eu listei fechamento e os demais para ficar bem explícito.
Passo 7
Consequências e pequenas “fórmulas úteis” que aparecem sempre em provas (mostro como deduzir para você decorar):
-
(o escalar zero vezes qualquer dá o vetor zero).
Demonstração curta: usandoe também pela definição, subtraindo de ambos os lados obtemos . -
(multiplicar por dá o inverso aditivo).
Demonstração curta:, então é o inverso aditivo de , isto é .
Essas deduções usam apenas os axiomas de distributividade e identidade escalar; são úteis para reconhecer contradições ao testar um conjunto.
Passo 8
Agora resolvemos a parte (b): testar se
pode ser um espaço vetorial com as operações usuais de
.
Verificações rápidas (com as operações usuais):
- O conjunto não é vazio porque
(já que ). Então condição inicial ok. - Fechamento da soma: se
então pode ser igual a para certas escolhas? Ex.: mas — porém não pertence a . Melhor achar uma violação clara envolvendo inverso aditivo.
Procuramos uma propriedade que falhe: a existência de inverso aditivo para todo elemento.
Escolha
. Observação:
porque
.
O inverso aditivo de é
, pois
.
Mas (pelo próprio definição do conjunto).
Portanto, para não existe inverso aditivo em
.
O inverso aditivo de
Mas
Portanto, para
Conclusão: o conjunto não satisfaz o axioma da existência de inversos aditivos para todos os elementos, logo não é um espaço vetorial com as operações usuais.
Passo 9
Resumo didático rápido (como responder na prova):
- Para (a) escreva os axiomas enumerados exatamente (fechamento soma, associatividade, comutatividade, elemento nulo, inverso aditivo, fechamento escalar, compatibilidade
, identidade , e as duas distributividades). - Para (b) basta dar um contraexemplo mostrando que para
o inverso aditivo é ; portanto falta a existência do inverso aditivo, então não é espaço vetorial.
Resposta
(a) As propriedades (axiomas) são:
para todo
e
:
(1) fechamento da soma:
.
(2) associatividade da soma:
.
(3) comutatividade da soma:
.
(4) existência do elemento nulo:
tal que
para todo
.
(5) existência de inverso aditivo: para todo
existe
com
.
(6) fechamento na multiplicação por escalar:
.
(7) compatibilidade de escalares:
.
(8) identidade escalar:
.
(9) distributividade do escalar sobre soma de vetores:
.
(10) distributividade da soma de escalares sobre vetor:
.
(b) Não. Por exemplo,
mas seu inverso aditivo é
, e
; assim falta inverso aditivo e
não é espaço vetorial.