Questão 1:(6 pts) Responda:
a) (4 pts) Um espaço vetorial real é um conjunto V, nāo vazio, com duas operaçōes: soma, V \times V \longrightarrow V e multiplicação por escalar \mathbb{R} \times V \longrightarrow V, tais que para todo u, v, w \in V e a, b \in \mathbb{R} satisfaz as seguintes propriedades: …
Descreva quais são essas propriedades.
b)(2 pts) O Conjunto V=\{x \in \mathbb{R} ; x \neq 1\} pode ser um espaço vetorial? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Descrever todas as propriedades (axiomas) que um conjunto V não-vazio com operações soma e multiplicação por escalar deve satisfazer para ser um espaço vetorial real, onde \,u,v,w\in V e a,b\in\mathbb{R}.
  • (b) Dizer se o conjunto V=\{x\in\mathbb{R};\;x\neq 1\} pode ser um espaço vetorial (com as operações usuais de \mathbb{R}) e justificar a resposta.
Informações dadas que usaremos:
  • Há duas operações: soma V\times V\to V e multiplicação por escalar \mathbb{R}\times V\to V.
  • Variáveis indicadas: u,v,w\in V e a,b\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos listar e explicar, uma a uma, as propriedades (axiomas) que definem um espaço vetorial real. Primeiro, nota importante: algumas fontes apresentam 8 axiomas essenciais (assumindo que as operações são de fato com imagem em V); outras detalham fechamento separadamente. Vou escrever os axiomas de forma explícita e intuitiva, com o que cada letra significa.
Axioma 1 — fechamento da soma:
\text{para todo }u,v\in V,\; u+v\in V.
Explicação: quando somo dois vetores do conjunto, o resultado precisa permanecer no conjunto. Se isso falhar, não dá para ser espaço vetorial.

Passo 3

Axioma 2 — associatividade da soma:
\text{para todo }u,v,w\in V,\; (u+v)+w = u+(v+w).
Explicação: a ordem de agrupar somas não altera o resultado. Isso permite somar sem ambiguidade.
Axioma 3 — existência de elemento nulo (identidade aditiva):
\exists\,0\in V\text{ tal que para todo }v\in V,\; v+0 = v.
Explicação: deve haver um vetor 0 em V que não altera nenhum vetor pela soma. Em geral chamamos esse vetor de “vetor zero”.

Passo 4

Axioma 4 — existência de inverso aditivo:
\text{para todo }v\in V,\;\exists\,(-v)\in V\text{ tal que }v+(-v)=0.
Explicação: para cada vetor existe outro vetor no conjunto que soma com ele dando o vetor zero. Observação útil (propriedade decorrente): o inverso aditivo é único.
Axioma 5 — comutatividade da soma:
\text{para todo }u,v\in V,\; u+v = v+u.
Explicação: a soma é comutativa; trocar a ordem não muda o resultado.

Passo 5

Agora os axiomas que envolvem a multiplicação por escalares.
Axioma 6 — fechamento na multiplicação por escalar:
\text{para todo }a\in\mathbb{R}\text{ e }v\in V,\; a v \in V.
Explicação: multiplicar um vetor do conjunto por um escalar real deve dar outro vetor do conjunto.
Axioma 7 — compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade entre escalares):
\text{para todo }a,b\in\mathbb{R}\text{ e }v\in V,\; (ab)v = a(bv).
Explicação: primeiro multiplicar v por b e depois por a é o mesmo que multiplicar por ab.

Passo 6

Axioma 8 — identidade escalar:
\text{para todo }v\in V,\; 1\cdot v = v,
onde 1 é o elemento neutro da multiplicação em \mathbb{R}.
Explicação: multiplicar por 1 não altera o vetor.
Axioma 9 — distributividade do escalar sobre a soma de vetores:
\text{para todo }a\in\mathbb{R}\text{ e }u,v\in V,\; a(u+v) = au + av.
Explicação: distribuir o escalar sobre uma soma de vetores dá a soma dos vetores escalados.
Axioma 10 — distributividade da soma de escalares sobre vetor:
\text{para todo }a,b\in\mathbb{R}\text{ e }v\in V,\; (a+b)v = av + bv.
Explicação: somar escalares e depois multiplicar pelo vetor é o mesmo que multiplicar separadamente e somar os resultados.
Observação: algumas listas combinam/omittem fechamento explícito, ficando com 8 axiomas clássicos; eu listei fechamento e os demais para ficar bem explícito.

Passo 7

Consequências e pequenas “fórmulas úteis” que aparecem sempre em provas (mostro como deduzir para você decorar):
  • 0\cdot v = 0 (o escalar zero vezes qualquer v dá o vetor zero).
    Demonstração curta: usando (0+0)v = 0v + 0v e também (0+0)v = 0v pela definição, subtraindo 0v de ambos os lados obtemos 0v=0.
  • (-1)v = -v (multiplicar por -1 dá o inverso aditivo).
    Demonstração curta: v + (-1)v = (1+(-1))v = 0v = 0, então (-1)v é o inverso aditivo de v, isto é -v.
Essas deduções usam apenas os axiomas de distributividade e identidade escalar; são úteis para reconhecer contradições ao testar um conjunto.

Passo 8

Agora resolvemos a parte (b): testar se V=\{x\in\mathbb{R};\;x\neq 1\} pode ser um espaço vetorial com as operações usuais de \mathbb{R}.
Verificações rápidas (com as operações usuais):
  • O conjunto não é vazio porque 0\in V (já que 0\neq 1). Então condição inicial ok.
  • Fechamento da soma: se x,y\in V então x+y pode ser igual a 1 para certas escolhas? Ex.: x=0, y=1 mas 1\notin V — porém y=1 não pertence a V. Melhor achar uma violação clara envolvendo inverso aditivo.
Procuramos uma propriedade que falhe: a existência de inverso aditivo para todo elemento.
Escolha x = -1. Observação: -1\in V porque -1\neq 1.
O inverso aditivo de x=-1 é -x = 1, pois -1 + 1 = 0.
Mas 1\notin V (pelo próprio definição do conjunto).
Portanto, para x=-1 não existe inverso aditivo em V.
Conclusão: o conjunto não satisfaz o axioma da existência de inversos aditivos para todos os elementos, logo não é um espaço vetorial com as operações usuais.

Passo 9

Resumo didático rápido (como responder na prova):
  • Para (a) escreva os axiomas enumerados exatamente (fechamento soma, associatividade, comutatividade, elemento nulo, inverso aditivo, fechamento escalar, compatibilidade (ab)v, identidade 1v=v, e as duas distributividades).
  • Para (b) basta dar um contraexemplo mostrando que para x=-1 o inverso aditivo é 1\notin V; portanto falta a existência do inverso aditivo, então V não é espaço vetorial.

Resposta

(a) As propriedades (axiomas) são: para todo u,v,w\in V e a,b\in\mathbb{R}:
(1) fechamento da soma: u+v\in V.
(2) associatividade da soma: (u+v)+w = u+(v+w).
(3) comutatividade da soma: u+v = v+u.
(4) existência do elemento nulo: \exists\,0\in V tal que v+0=v para todo v\in V.
(5) existência de inverso aditivo: para todo v\in V existe -v\in V com v+(-v)=0.
(6) fechamento na multiplicação por escalar: a v\in V.
(7) compatibilidade de escalares: (ab)v = a(bv).
(8) identidade escalar: 1\cdot v = v.
(9) distributividade do escalar sobre soma de vetores: a(u+v)=au+av.
(10) distributividade da soma de escalares sobre vetor: (a+b)v = av + bv.
(b) Não. Por exemplo, -1\in V mas seu inverso aditivo é 1, e 1\notin V; assim falta inverso aditivo e V não é espaço vetorial.

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