Questão 3. O traço de uma matriz é definido como a soma dos elementos da diagonal principal desta matriz. Qual e o traço da MATRIZ INVERSA de A=[rrrr0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 2] ?
-14 -15 -29 -18

Passo 1

O enunciado pede o traço da inversa de uma matriz A. Sabemos que, em geral, cada elemento diagonal de A^-1 é dado por
(A^-1)ii = Ciidet(A),
onde Cii é o cofator de A na posição (i,i). Logo,
tr(A^-1) = sumi=1^4(A^-1)ii = sumi=1^4Ciidet(A)
Para encontrar tr(A^-1) precisamos calcular det(A) e a soma dos cofatores C11+C22+C33+C44.

Passo 2

Calcular det(A) por expansão na primeira linha de
A = 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 2
Expandindo em torno de a13=1 e a14=1, obtemos
det(A) = 1cdot M13 ;-;1cdot M14,
onde
M13 = det1&0&11&1&-10&2&2=6, M14 = det1&0&01&1&10&2&0=-2
Portanto,
det(A) = 6 - (-2) = 8

Passo 3

Calcular os menores principais Mii (que são iguais aos cofatores Cii pois o sinal (-1)^i+i=1):
M11 é o determinante ao remover linha 1 e coluna 1:
M11 = det 0&0&1 1&1&-1 2&0&2 = -2
M22 remove linha 2 e coluna 2:
M22 = det 0&1&1 1&1&-1 0&0&2 = -2
M33 remove linha 3 e coluna 3:
M33 = det 0&0&1 1&0&1 0&2&2 = 2
M44 remove linha 4 e coluna 4:
M44 = det 0&0&1 1&0&0 1&1&1 = 1

Passo 4

A soma dos cofatores é
C11+C22+C33+C44 = M11+M22+M33+M44 = -2 + (-2) + 2 + 1 = -1
Logo o traço de A^-1 é
tr(A^-1) = -1det(A) = -18 = -tfrac18

Resposta

-tfrac18

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