Questão 2
A Transformada de Laplace, por definição, requer o cálculo de uma integral imprópria. No entanto, é possível tabelar o resultado da Transformada de Laplace para algumas funções, assim, não é necessário usar a definição toda vez que nos depararmos com esse tipo de funções.
Com relação a Transformada de Laplace, assinale a alternativa correta.
mathscrLe^3 t+2 t^4=(s^5+24 s-72) /(s^5(s+3))

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão da Transformada de Laplace de f(t)=e^3t+2t^4 dada por (s^5+24s-72)/(s^5(s+3)) está correta. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace de funções exponenciais e polinomiais, e vamos usar a tabela de transformadas para não precisar calcular a integral imprópria.

Passo 2

Para resolver, vamos recordar as fórmulas básicas da Transformada de Laplace:
mathscrLe^at = 1s-a
mathscrLt^n = n!s^n+1
Essas expressões vêm da definição mathscrLf(t) = integral0^inftyf(t)e^-st,dt, mas já estão tabeladas.

Passo 3

Primeiro, aplicamos essas fórmulas aos termos de f(t):
mathscrLe^3t = 1s-3
Como 4! = 24, temos
mathscrLt^4 = 24s^5
Logo,
mathscrL2t^4 = 2cdot24s^5 = 48s^5.

Passo 4

Agora somamos as duas transformadas e colocamos no mesmo denominador:
mathscrLe^3t+2t^4 = 1s-3 + 48s^5 = s^5 + 48(s-3)s^5(s-3) = s^5 + 48s - 144s^5(s-3)

Passo 5

Comparando com a expressão dada (s^5+24s-72)/(s^5(s+3)), vemos que há vários erros: o sinal em s-3 virou s+3, o coeficiente 48 foi reduzido a 24 e o termo constante ficou (-72) em vez de (-144). Portanto, a alternativa está incorreta.

Resposta

A expressão correta é mathscrLe^3t+2t^4=s^5+48s-144s^5(s-3), logo a alternativa apresentada está errada.

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