Ricardo é um programador muito respeitado em Parnaíba. Após finalizar um programa contábil para uma empresa de grande porte, ele comprou um Jeep Grand Compass e combina uma carona com a amiga de turma Natália para irem juntos fazer a prova de Cálculo III. Para evitarem desencontros, acertam os relógios considerando inclusive os segundos. Ricardo e Natália descrevem trajetórias descritas pelas equações
& R(t)=(1+t, 2+3 t) & N(t)=(1-t, 3+t^2)
Ricardo enganou Natália?

Passo 1

O enunciado dá as trajetórias paramétricas de Ricardo e Natália em função do mesmo parâmetro temporal t:
– Ricardo: R(t) = (1 + t, 2 + 3t)
– Natália: N(t) = (1 – t, 3 + t²)
Conteúdo: curvas paramétricas e critério de encontro de partículas (mesma posição ao mesmo tempo).

Passo 2

Para que haja encontro no mesmo instante t, precisamos resolver o sistema de igualdade de coordenadas:
1 + t = 1 - t, 2 + 3t = 3 + t^2

Passo 3

Da primeira equação 1 + t = 1 - t isolamos t:
1 + t = 1 - t implies t = -t implies t = 0

Passo 4

Substituindo t = 0 na segunda equação verificamos se ela se mantém:
2 + 3cdot 0 = 2, 3 + (0)^2 = 3
Mas 2 neq 3, ou seja, há contradição.

Passo 5

Como não existe nenhum valor de t que satisfaça simultaneamente ambas as equações, não há instante em que R(t) = N(t). Portanto, Ricardo realmente enganou a Natália.

Resposta

Sim. Não existe instante em que as trajetórias coincidam, logo Ricardo enganou Natália.

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