Questão 8. Considere a equação funcional
. Podemos afirmar que:
A ( ) f é par.
B ( ) f é periódica.
C( )
.
D( )
f .
E ( ) NDA.
A ( ) f é par.
B ( ) f é periódica.
C( )
D( )
E ( ) NDA.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação funcional
As alternativas são:
A) é par.
B) é periódica.
C) .
D)
(não existe
que satisfaça a equação).
E) NDA.
A)
B)
C)
D)
E) NDA.
O problema pede para determinar qual das alternativas é verdadeira, isto é, decidir se existe uma função
que satisfaça a equação e, se existir, qual das propriedades/igualdades das alternativas vale.
Passo 2
Uma técnica simples e muito usada em equações funcionais é escolher valores especiais para
e
(por exemplo
) para obter informações sobre
. Tomando
na equação dada, obtemos
Isto é
Portanto, para todo
,
Conclusão intermediária: se existir alguma função
que satisfaça a equação, ela deve necessariamente ser
para todo
.
Ao colocar
usamos que a equação vale para todos os pares
. Isso é uma ideia padrão — ao fixar variáveis em valores convenientes (0,
,
iguais, etc.) muitas vezes conseguimos determinar a forma de
ou reduzir o problema. Aqui o cálculo virou uma igualdade simples que obrigou
a ser
se houver solução.
Passo 3
Agora devemos verificar se a função candidata
realmente satisfaz a equação original para todos
. Substituindo
na expressão da esquerda:
Expandimos os cubos passo a passo (binômio de Newton):
Somando:
Os termos
e
se cancelam;
e
também se cancelam. Restam
Passo 4
Comparando com o lado direito exigido pela equação, que é
, vemos que a igualdade exigiria
Subtraindo
de ambos os lados:
Isolando fatores comuns:
Isto precisa ser verdade para todos
. Mas a expressão
não é identicamente zero para todos
: por exemplo, escolhendo
e
obtemos
. Ou seja, a igualdade falha já nesse par
. Em termos diretos, se
então para
o lado esquerdo dá
enquanto o lado direito dá
, contradição.
Passo 5
Em resumo, qualquer solução teria de satisfazer
(passo 2), mas essa função não satisfaz a equação geral (passos 4–5). Logo não existe função
que satisfaça a condição para todos
. Portanto a afirmação correta entre as alternativas é a que diz que não existe
.
Resposta
D