Questão 8. Considere a equação funcional f(x+y)+f(x-y)=2 x^{3}+2 y^{3}, \forall x, y \in \mathbb{R}. Podemos afirmar que:
A ( ) f é par.
B ( ) f é periódica.
C( ) f(x)=x^{3}.
D( ) \nexists f .
E ( ) NDA.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação funcional
f(x+y)+f(x-y)=2x^{3}+2y^{3},\quad \forall x,y\in\mathbb{R}.
As alternativas são:
A) f é par.
B) f é periódica.
C) f(x)=x^{3}.
D) \nexists f (não existe f que satisfaça a equação).
E) NDA.
O problema pede para determinar qual das alternativas é verdadeira, isto é, decidir se existe uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça a equação e, se existir, qual das propriedades/igualdades das alternativas vale.

Passo 2

Uma técnica simples e muito usada em equações funcionais é escolher valores especiais para x e y (por exemplo y=0) para obter informações sobre f. Tomando y=0 na equação dada, obtemos
f(x+0)+f(x-0)=2x^{3}+2\cdot 0^{3}.
Isto é
f(x)+f(x)=2x^{3}.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
2f(x)=2x^{3}\quad\Longrightarrow\quad f(x)=x^{3}.
Conclusão intermediária: se existir alguma função f que satisfaça a equação, ela deve necessariamente ser f(x)=x^{3} para todo x.
Ao colocar y=0 usamos que a equação vale para todos os pares (x,y). Isso é uma ideia padrão — ao fixar variáveis em valores convenientes (0, x, y iguais, etc.) muitas vezes conseguimos determinar a forma de f ou reduzir o problema. Aqui o cálculo virou uma igualdade simples que obrigou f(x) a ser x^3 se houver solução.

Passo 3

Agora devemos verificar se a função candidata f(x)=x^{3} realmente satisfaz a equação original para todos x,y. Substituindo f(x)=x^{3} na expressão da esquerda:
f(x+y)+f(x-y)=(x+y)^{3}+(x-y)^{3}.
Expandimos os cubos passo a passo (binômio de Newton):
(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},
(x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}.
Somando:
(x+y)^{3}+(x-y)^{3}=(x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3})+(x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}).
Os termos 3x^{2}y e -3x^{2}y se cancelam; y^{3} e -y^{3} também se cancelam. Restam
(x+y)^{3}+(x-y)^{3}=2x^{3}+6xy^{2}.

Passo 4

Comparando com o lado direito exigido pela equação, que é 2x^{3}+2y^{3}, vemos que a igualdade exigiria
2x^{3}+6xy^{2}=2x^{3}+2y^{3},\quad\forall x,y.
Subtraindo 2x^{3} de ambos os lados:
6xy^{2}=2y^{3},\quad\forall x,y.
Isolando fatores comuns:
2y^{2}(3x-y)=0,\quad\forall x,y.
Isto precisa ser verdade para todos x,y. Mas a expressão 2y^{2}(3x-y) não é identicamente zero para todos x,y: por exemplo, escolhendo y=1 e x=0 obtemos 2\cdot1^{2}(0-1)=-2\neq 0. Ou seja, a igualdade falha já nesse par (x,y)=(0,1). Em termos diretos, se f(x)=x^{3} então para x=0,y=1 o lado esquerdo dá f(1)+f(-1)=1+(-1)=0 enquanto o lado direito dá 2\cdot 0^{3}+2\cdot1^{3}=2, contradição.

Passo 5

Em resumo, qualquer solução teria de satisfazer f(x)=x^{3} (passo 2), mas essa função não satisfaz a equação geral (passos 4–5). Logo não existe função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça a condição para todos x,y. Portanto a afirmação correta entre as alternativas é a que diz que não existe f.

Resposta

D

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