Questão 1 *

Um tubo de 5 cm de diâmetro transporta um fluido de transferência de calor e é revestido com uma camada de 2 cm de isolamento de silicato de cálcio ( \mathrm{k}=0,06 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) para reduzir a perda de calor. Os diâmetros interno e externo do tubo são, respectivamente, 5,25 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 6,03 \mathrm{~cm}. Se a superfície interna do tubo estiver a 150^{\circ} \mathrm{C} e a superfície externa do isolamento estiver a 25^{\circ} \mathrm{C}, calcule:
a) A taxa de perda de calor por unidade de comprimento do tubo.
b) A temperatura da superfície externa do tubo.

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor em coordenadas cilíndricas através de um tubo revestido por isolamento. Temos uma fonte quente na parede interna do tubo a \,150^\circ\mathrm C e a superfície externa do isolamento a \,25^\circ\mathrm C. O isolamento tem condutividade térmica k=0,06\;\mathrm{W/(m\cdot K)} e espessura de 2\;\mathrm{cm}. Vamos usar a fórmula da taxa de calor por unidade de comprimento em regime permanente para um cilindro:
\dot Q' \;=\; \frac{2\pi\,k\,(T_{\rm in}-T_{\rm out})}{\ln(r_{\rm out}/r_{\rm in})}\,.
Também vamos calcular a temperatura na face interna do isolamento (que é a face externa do tubo) usando o perfil radial de temperatura em regime permanente.

Passo 2

Determinamos as posições radiais:
  • Raio interno do isolamento (igual ao raio externo do tubo): r_i = \frac{6{,}03\;\mathrm{cm}}{2} = 0{,}03015\;\mathrm m.
  • Raio externo do isolamento: r_o = r_i + 0{,}02\;\mathrm m = 0{,}03015 + 0{,}02 = 0{,}05015\;\mathrm m.
As temperaturas-limite para o isolamento são T_i=150^\circ\mathrm C na face interna e T_o=25^\circ\mathrm C na face externa.

Passo 3

Aplicamos a expressão da taxa de calor por unidade de comprimento para o anel cilíndrico de isolamento:
\dot Q' \;=\; \frac{2\pi\,k\,(T_i - T_o)}{\ln\bigl(r_o/r_i\bigr)}.
Substituindo k=0{,}06\;\mathrm{W/(m\cdot K)}, T_i-T_o=150-25=125\;\mathrm K e
\ln(r_o/r_i)=\ln(0{,}05015/0{,}03015)\approx0{,}509, temos
\dot Q' = \frac{2\pi\,(0{,}06)\,(125)}{0{,}509} \approx \frac{47{,}12}{0{,}509} \approx 92{,}6\;\mathrm{W/m}.

Passo 4

A taxa de perda de calor por unidade de comprimento do tubo é, portanto,
\boxed{\dot Q' \approx 93\;\mathrm{W/m}.}

Passo 5

Para achar a temperatura da superfície externa do tubo (isto é, a face interna do isolamento) usamos o perfil radial dentro do isolamento, que em regime permanente satisfaz
T(r) \;=\; T_o \;+\; \frac{\dot Q'}{2\pi\,k}\,\ln\!\bigl(r_o/r\bigr).
Tomando r = r_i, obtemos
T(r_i) = 25^\circ\mathrm C \;+\; \frac{92{,}6}{2\pi(0{,}06)}\, \ln\!\bigl(0{,}05015/0{,}03015\bigr).
Mas já calculamos
\dfrac{\dot Q'}{2\pi k}\ln(r_o/r_i)=125\;\mathrm K. Logo
T(r_i)=25 +125 =150^\circ\mathrm C.
Isso mostra que, por a resistência térmica do metal do tubo ser muito pequena (alta condutividade), praticamente não há queda de temperatura na parede metálica e a face interna do isolamento fica a \,150^\circ\mathrm C.

Resposta

a) \dot Q' \approx 93\;\mathrm{W/m}.
b) Temperatura da superfície externa do tubo \approx150^\circ\mathrm C.

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