( 4{ }^{\text {a }} Questão -1,5 ponto)
Seja a função f(x, y)=x^{3}-3 x+3 x y^{2}. Determine:
(A) as derivadas parciais de primeira ordem de f.
(B) as derivadas parciais de segunda ordem de f.
(C) os extremos locais e ponto de sela da função f, se existirem.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}-3x+3xy^{2}
e pede:
  1. as derivadas parciais de primeira ordem;
  2. as derivadas parciais de segunda ordem;
  3. os pontos críticos e sua classificação (extremos locais ou ponto de sela).
    Vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{2}-3+3y^{2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =6xy.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =6x, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =6y, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =6x.

Passo 4

Para achar os pontos críticos, resolvemos
\begin{cases} 3x^{2}-3+3y^{2}=0,\\\\ 6xy=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=0 ou y=0.
  • Se x=0, da primeira: -3+3y^{2}=0 \implies y^{2}=1, dando (0,1) e (0,-1).
  • Se y=0, da primeira: 3x^{2}-3=0 \implies x^{2}=1, dando (1,0) e (-1,0).

Passo 5

Para classificar, calculamos o discriminante da Hessiana
D(x,y) =\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\, \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} -\Bigl(\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\Bigr)^{2} =6x\cdot6x-(6y)^{2} =36\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
E usamos o sinal de \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x:
  • Em (1,0): D=36>0 e 6x=6>0 \implies mínimo local.
  • Em (-1,0): D=36>0 e 6x=-6<0 \implies máximo local.
  • Em (0,1) e (0,-1): D=36(0-1)=-36<0 \implies ponto de sela.

Resposta

(A) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-3+3y^{2},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=6xy. (B) \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6x,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=6y,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=6x. (C)
Pontos críticos: (1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1).
  • (1,0): mínimo local.
  • (-1,0): máximo local.
  • (0,1) e (0,-1): pontos de sela.

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