( 2{ }^{\text {a }} Questão - 2,0 pontos)
Se f(x, y, z)=x \cdot e^{y}+\cos (x \cdot y), determine:
a) o gradiente de f;
b) a derivada direcional de f no ponto (2,0) na direção \vec{v}=3 \vec{i}-4 \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x\,e^{y}+\cos(xy) e pede
  1. o gradiente de f, isto é \nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y), e
  2. a derivada direcional de f no ponto (2,0) na direção \vec v=(3,-4).
    Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais, avaliar o gradiente em (2,0), achar o vetor unitário na direção de \vec v e depois fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculando as derivadas parciais: \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} =e^{y}+\frac{d}{dx}\bigl[\cos(xy)\bigr] =e^{y}-y\sin(xy), \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =x\,e^{y}+\frac{d}{dy}\bigl[\cos(xy)\bigr] =x\,e^{y}-x\sin(xy).
Logo
\nabla f(x,y) =\bigl(e^{y}-y\sin(xy),\;x\,e^{y}-x\sin(xy)\bigr).

Passo 3

Agora avaliamos em (2,0):
para y=0 temos e^{0}=1 e \sin(2\cdot0)=0, logo
\nabla f(2,0) =(1-0,\;2\cdot1-2\cdot0)=(1,2).

Passo 4

A direção dada é \vec v=(3,-4). O módulo de \vec v é
\|\vec v\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5.
O vetor unitário é
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\Bigl(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de f em (2,0) na direção \mathbf u é
D_{\mathbf u}f(2,0) =\nabla f(2,0)\cdot\mathbf u =(1,2)\cdot\Bigl(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\Bigr) =\frac{3}{5}-\frac{8}{5}=-1.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla f(x,y)=\bigl(e^{y}-y\sin(xy),\;x\,e^{y}-x\sin(xy)\bigr).
(b) \displaystyle D_{\vec v}f(2,0)=-1.

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