Questão: Por um tubo liso, térmicamente isolado, escoa ar à taxa de
. 0 diâmetro do tubo é 100 mm . Em uma seção no tubo, a pressão é 690 kPa (abs) e a temperatura absoluta é 300 K .
Determine:
(a) A menor pressão que pode ser observada no tubo;
(b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.
Determine:
(a) A menor pressão que pode ser observada no tubo;
(b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um tubo liso e térmicamente isolado por onde passa ar com uma taxa de escoamento de
. O diâmetro do tubo é de 100 mm, e em uma seção específica do tubo a pressão absoluta é de 690 kPa e a temperatura é de 300 K. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A menor pressão que pode ser observada no tubo.
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação da continuidade (que relaciona a área e a velocidade do fluido) e a equação de Bernoulli (que relaciona pressão, velocidade e altura em escoamentos de fluidos incompressíveis e sem perdas). Também vamos usar a equação dos gases ideais para relacionar massa, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o diâmetro do tubo para metros, já que as unidades do SI são mais convenientes:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo usando a fórmula da área de um círculo:
Passo 4
A taxa de escoamento massico (
) é dada por:
Onde:
-
é a densidade do ar -
é a área da seção transversal -
é a velocidade do ar
Para encontrar a velocidade
, precisamos primeiro encontrar a densidade
. Vamos usar a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão absoluta -
é a constante específica do ar ( ) -
é a temperatura absoluta
Passo 5
Vamos calcular a densidade
com os valores fornecidos:
Passo 6
Agora, substituímos
,
e
na equação da taxa de escoamento para encontrar a velocidade
:
Resolvendo para
:
Passo 7
Para encontrar a menor pressão no tubo, vamos usar a equação de Bernoulli, que em um escoamento horizontal sem perdas fica:
A menor pressão ocorre quando a velocidade é máxima. Então, reorganizando a equação para achar a nova pressão
:
Passo 8
Substituindo os valores:
Calculando o termo da velocidade:
Então,
Passo 9
Para encontrar a máxima velocidade no tubo, vamos considerar que a pressão mínima possível é quando
se aproxima do vácuo, mas fisicamente, há um limite na velocidade de exaustão baseada na energia disponível. No entanto, para simplificar, podemos usar a equação da velocidade máxima para um escoamento isentrópico (sem perda de energia), que envolve a velocidade do som na condição inicial.
A velocidade do som
no ar é dada por:
Onde
é a razão de capacidades térmicas (para o ar,
).
Passo 10
Calculando a velocidade do som:
A máxima velocidade
no tubo não pode exceder a velocidade do som para garantir o fluxo subsonico:
Resposta
a) A menor pressão observada no tubo é aproximadamente
.
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo é aproximadamente .
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo é aproximadamente