Questão: Por um tubo liso, térmicamente isolado, escoa ar à taxa de 4,5 kg / s. 0 diâmetro do tubo é 100 mm . Em uma seção no tubo, a pressão é 690 kPa (abs) e a temperatura absoluta é 300 K .
Determine:
(a) A menor pressão que pode ser observada no tubo;
(b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos diz que temos um tubo liso e térmicamente isolado por onde passa ar com uma taxa de escoamento de 4,5 , kg/s. O diâmetro do tubo é de 100 mm, e em uma seção específica do tubo a pressão absoluta é de 690 kPa e a temperatura é de 300 K. A gente precisa descobrir duas coisas:
a) A menor pressão que pode ser observada no tubo.
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a equação da continuidade (que relaciona a área e a velocidade do fluido) e a equação de Bernoulli (que relaciona pressão, velocidade e altura em escoamentos de fluidos incompressíveis e sem perdas). Também vamos usar a equação dos gases ideais para relacionar massa, volume e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o diâmetro do tubo para metros, já que as unidades do SI são mais convenientes:
d = 100 , mm = 0,1 , m

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção transversal do tubo usando a fórmula da área de um círculo:
A = pi d^24 = pi (0,1)^24 = pi times 0,014 = 0,00785 , m^2

Passo 4

A taxa de escoamento massico ( dotm) é dada por:
dotm = rho A v
Onde:
  • rho é a densidade do ar
  • A é a área da seção transversal
  • v é a velocidade do ar
Para encontrar a velocidade v, precisamos primeiro encontrar a densidade rho. Vamos usar a equação dos gases ideais:
rho = PR T
Onde:
  • P é a pressão absoluta
  • R é a constante específica do ar ( R = 287 , J/(kg·K))
  • T é a temperatura absoluta

Passo 5

Vamos calcular a densidade rho com os valores fornecidos:
rho = 690 times 10^3 , Pa287 , J/(kg·K) times 300 , K = 69000086100 approx 8,0 , kg/m^3

Passo 6

Agora, substituímos rho, A e dotm na equação da taxa de escoamento para encontrar a velocidade v:
4,5 = 8,0 times 0,00785 times v
Resolvendo para v:
v = 4,58,0 times 0,00785 approx 4,50,0628 approx 71,7 , m/s

Passo 7

Para encontrar a menor pressão no tubo, vamos usar a equação de Bernoulli, que em um escoamento horizontal sem perdas fica:
P + 12 rho v^2 = constante
A menor pressão ocorre quando a velocidade é máxima. Então, reorganizando a equação para achar a nova pressão Pmin:
Pmin = P - 12 rho v^2

Passo 8

Substituindo os valores:
Pmin = 690000 , Pa - 12 times 8,0 , kg/m^3 times (71,7 , m/s)^2
Calculando o termo da velocidade:
12 times 8,0 times 5140,89 approx 20563,56 , Pa
Então,
Pmin = 690000 - 20563,56 approx 669436,44 , Pa = 669,4 , kPa

Passo 9

Para encontrar a máxima velocidade no tubo, vamos considerar que a pressão mínima possível é quando Pmin se aproxima do vácuo, mas fisicamente, há um limite na velocidade de exaustão baseada na energia disponível. No entanto, para simplificar, podemos usar a equação da velocidade máxima para um escoamento isentrópico (sem perda de energia), que envolve a velocidade do som na condição inicial.
A velocidade do som a no ar é dada por:
a = raizgamma R T
Onde gamma é a razão de capacidades térmicas (para o ar, gamma = 1,4).

Passo 10

Calculando a velocidade do som:
a = raiz1,4 times 287 times 300 approx raiz1,4 times 287 times 300 approx raiz120660 approx 347,3 , m/s
A máxima velocidade vmax no tubo não pode exceder a velocidade do som para garantir o fluxo subsonico:
vmax approx 347,3 , m/s

Resposta

a) A menor pressão observada no tubo é aproximadamente 669,4 , kPa.
b) A máxima velocidade que pode ocorrer no tubo é aproximadamente 347,3 , m/s.

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