Questão 2: O tubo de órgão A, com as duas extremidades abertas, tem uma frequência fundamental de 200 Hz . O quarto harmônico do tubo de órgão B, com uma extremidade aberta, tem a mesma frequência que o terceiro harmônico do tubo A. Qual é o comprimento (a) do tubo A? (b) Qual o comprimento do tubo B ? Considere a velocidade do som no ar v=344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá dois tubos de órgão e pede seus comprimentos. O tubo A é aberto em ambas as extremidades e tem frequência fundamental f_{1A} = 200,Hz. O tubo B é aberto em apenas uma extremidade (outro extremo fechado). Sabe-se que o terceiro harmônico de A coincide com o quarto harmônico de B. A velocidade do som vale v = 344,m/s. Vamos usar as fórmulas dos harmônicos para tubos aberto-aberto e aberto-fechado.

Passo 2

No tubo A (aberto-aberto) as frequências dos harmônicos são
f_{nA}=n\,\frac{v}{2L_A}\quad(n=1,2,3,\dots).
Para o fundamental ( n=1) temos
200 = \frac{344}{2L_A}
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L_A = \frac{344}{2\cdot200} = 0,86\;\mathrm{m}.

Passo 3

O terceiro harmônico de A corresponde a n=3, então
f_{3A}=3\,f_{1A}=3\times200=600\;\mathrm{Hz}.

Passo 4

No tubo B (aberto-fechado) só aparecem harmônicos ímpares. Se chamamos de f_{kB} o k-ésimo harmônico existente ( k=1,2,3,\dots), então
f_{kB}=(2k-1)\,\frac{v}{4L_B}.
O quarto harmônico disponível corresponde a k=4, isto é
f_{4B}=(2\cdot4-1)\,\frac{v}{4L_B}=7\,\frac{v}{4L_B}.

Passo 5

Igualando f_{4B} com f_{3A}:
7\,\frac{344}{4L_B}=600 \quad\Longrightarrow\quad L_B=\frac{7\cdot344}{4\cdot600}\approx1,00\;\mathrm{m}.

Resposta

L_A=0,86\;\mathrm{m} L_B\approx1,00\;\mathrm{m}

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