Questão 9 - Uma tubulação de 300 mm de diâmetro interno tem 500 m de extensão. Determinar o comprimento de uma tubulação equivalente de DN 180 mm , com a mesma rugosidade da primeira.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação original de diâmetro interno D_1=0,300\\ \text{m} e comprimento L_1=500\\ \text{m}, e pede o comprimento L_2 de uma tubulação de diâmetro D_2=0,180\\ \text{m} (mesma rugosidade), de modo que as perdas de carga por atrito sejam iguais para a mesma vazão.
Conteúdo envolvido: fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em regime turbulento e relação entre vazão, área e velocidade do fluido.

Passo 2

A perda de carga por atrito numa tubulação é dada pela fórmula de Darcy–Weisbach:
h = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}
onde f é o fator de atrito (aqui assumimos o mesmo para ambas as tubulações, pois têm a mesma rugosidade e estão em regime turbulento completamente áspero), L é o comprimento, D o diâmetro, v a velocidade média e g a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para uma vazão volumétrica Q fixa, a velocidade média em cada tubulação é
v = \frac{Q}{A} \quad\text{com}\quad A = \frac{\pi D^2}{4}.
Logo, as velocidades nas tubulações 1 e 2 satisfazem
\frac{v_2}{v_1} = \frac{Q/A_2}{Q/A_1} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi D_1^2/4}{\pi D_2^2/4} = \biggl(\frac{D_1}{D_2}\biggr)^{2}.

Passo 4

Escrevendo as perdas de carga em cada tubo e igualando h_1 = h_2, com f_1=f_2, temos
f\,\frac{L_1}{D_1}\,\frac{v_1^2}{2g} = f\,\frac{L_2}{D_2}\,\frac{v_2^2}{2g} \quad\Longrightarrow\quad \frac{L_1}{D_1}\,v_1^2 = \frac{L_2}{D_2}\,v_2^2.

Passo 5

Substituindo \;v_2^2 = v_1^2\,(D_1/D_2)^4, vem
\frac{L_1}{D_1} = \frac{L_2}{D_2}\,\biggl(\frac{D_1}{D_2}\biggr)^{4} \quad\Longrightarrow\quad L_2 = L_1 \,\biggl(\frac{D_2}{D_1}\biggr)^{5}.

Passo 6

Agora basta calcular \;(D_2/D_1)^5 com D_2/D_1=0,180/0,300=0,6:
\bigl(0,6\bigr)^{5} =0,6^{4}\times0,6 =0,1296\times0,6 =0,07776.
Logo
L_2 = 500\\ \text{m} \times 0,07776 \approx 38,9\\ \text{m}.

Resposta

O comprimento da tubulação de DN 180 mm equivalente é aproximadamente 38{,}9\\ \text{m}.

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