Questão 9. Uma tubulação de concreto (coeficiente de Manning n=0,014 ), com diâmetro de 1200 mm e declividade de fundo de S=0,0025 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, está operando com lâmina d’água de 800 mm . Determine a velocidade e a vazão da água nesta tubulação. Para esta vazão, seria possível substituir esta tubulação por outra com D=1000 \mathrm{~mm} operando no máximo com 0,95 D ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas bem claras.
Dados fornecidos:
n=0{,}014,\quad D_1=1200\\ \text{mm}=1{,}200\\ \text{mm}=1{,}2\\ \text{m},\quad S=0{,}0025,\quad h_1=800\\ \text{mm}=0{,}8\\ \text{m}.
Também é proposta a substituição por uma tubulação com
D_2=1000\\ \text{mm}=1{,}0\\ \text{m}
operando, no máximo, com lâmina igual a \;0{,}95D_2.
Perguntas do enunciado:
  1. Determinar a velocidade média \;V e a vazão \;Q na tubulação original ( D_1=1{,}2\\ \text{m}) quando a lâmina é \;h_1=0{,}8\\ \text{m}.
  2. Para a vazão encontrada, é possível substituir a tubulação por outra com D_2=1{,}0\\ \text{m} operando no máximo com \;h_2=0{,}95D_2? (verificar se a tubulação substituta tem capacidade \;Q_2\ge Q).

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar (Manning) e como tratar tubos parcialmente cheios:
A fórmula de Manning para velocidade média em escoamento uniforme é
V=\frac{1}{n}\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • \;V é a velocidade média (m/s),
  • \;n é o coeficiente de Manning (adimensional),
  • \;R é o raio hidráulico (m), definido por \;R=\dfrac{A}{P},
  • \;A é a área molhada (m^2),
  • \;P é o perímetro molhado (m),
  • \;S é a declividade da energia (aqui igual à declividade do fundo) (m/m).
Para um tubo circular parcialmente cheio (raio \;r=D/2 e lâmina \;h medida do fundo até a superfície livre):
  • Ângulo central (em radianos) correspondente ao trecho molhado:
\theta = 2\operatorname{arccos}\!\left(\frac{r-h}{r}\right).
Observação: essa fórmula dá \theta=0 se h=0, \theta=\pi se h=r (meio-cheio) e \theta=2\pi se h=2r (cheio).
  • Área do segmento molhado:
A=\frac{r^{2}}{2}\,(\theta-\sin\theta).
  • Perímetro molhado (somente o arco):
P=r\theta.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo primeiro para a tubulação original e depois para a tubulação proposta.

Passo 3

Cálculos para a tubulação original ( D_1=1{,}2\\ \text{m}, h_1=0{,}8\\ \text{m}).
Defino o raio:
r_1=\frac{D_1}{2}= \frac{1{,}2}{2}=0{,}6\\ \text{m}.
Calculo o argumento do arco:
\frac{r_1-h_1}{r_1}=\frac{0{,}6-0{,}8}{0{,}6}=\frac{-0{,}2}{0{,}6}=-\tfrac{1}{3}\approx -0{,}333333.
Então o ângulo central vale:
\theta_1 = 2\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Numericamente:
\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)\approx 1{,}910633\\ \text{rad},
logo
\theta_1\approx 2\times 1{,}910633=3{,}821266\\ \text{rad}.

Passo 4

Calculo da área molhada A_1 usando a fórmula do segmento:
Primeiro obtenho \sin\theta_1. Para \theta_1\approx 3{,}821266 rad,
\sin\theta_1\approx -0{,}628539.
Então
A_1=\frac{r_1^{2}}{2}\,(\theta_1-\sin\theta_1) =\frac{0{,}6^{2}}{2}\,\bigl(3{,}821266 - (-0{,}628539)\bigr).
Calcule passo a passo:
r_1^{2}=0{,}36,\quad \frac{r_1^{2}}{2}=0{,}18,
\theta_1-\sin\theta_1=3{,}821266+0{,}628539=4{,}449805.
Portanto
A_1=0{,}18\times 4{,}449805\approx 0{,}800965\\ \text{m}^2.

Passo 5

Calculo do perímetro molhado P_1 e do raio hidráulico R_1:
P_1=r_1\theta_1=0{,}6\times 3{,}821266\approx 2{,}292760\\ \text{m}.
R_1=\frac{A_1}{P_1}=\frac{0{,}800965}{2{,}292760}\approx 0{,}3494\\ \text{m}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula de Manning para obter a velocidade V_1.
Calculo R_1^{2/3} e S^{1/2}:
R_1^{2/3}\approx 0{,}4956\quad(\text{cálculo: }R_1^{1/3}\approx 0{,}704\Rightarrow (0{,}704)^2\approx0{,}4956),á
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0025}=0{,}05.
Agora
V_1=\frac{1}{n}\,R_1^{2/3}\,S^{1/2} =\frac{1}{0{,}014}\times 0{,}4956\times 0{,}05.
Calcule:
0{,}4956\times 0{,}05=0{,}02478,
\frac{1}{0{,}014}=71{,}428571\ldots
V_1\approx 71{,}428571\times 0{,}02478\approx 1{,}769\\ \text{m/s}.

Passo 7

Cálculo da vazão Q_1:
Q_1=A_1 V_1\approx 0{,}800965\times 1{,}769\approx 1{,}4175\\ \text{m}^3/\text{s}.
Arredondando razoavelmente para a prova:
V_1\approx 1{,}77\\ \text{m/s},\qquad Q_1\approx 1{,}42\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 8

Agora avalio a tubulação substituta ( D_2=1{,}0\\ \text{m}) operando com \;h_2=0{,}95D_2.
Primeiro:
h_2=0{,}95\times D_2=0{,}95\times 1{,}0=0{,}95\\ \text{m},\quad r_2=\frac{D_2}{2}=0{,}5\\ \text{m}.
Calculo o termo (r_2-h_2)/r_2:
\frac{r_2-h_2}{r_2}=\frac{0{,}5-0{,}95}{0{,}5}=\frac{-0{,}45}{0{,}5}=-0{,}9.
Logo o ângulo:
\theta_2=2\operatorname{arccos}(-0{,}9).
Numericamente:
\operatorname{arccos}(-0{,}9)\approx 2{,}690565\\ \text{rad}\quad\Rightarrow\quad \theta_2\approx 5{,}381130\\ \text{rad}.

Passo 9

Calculo de A_2, P_2, R_2:
Calculo \sin\theta_2. Para \theta_2\approx 5{,}381130,
\sin\theta_2\approx -0{,}785996.
Área:
A_2=\frac{r_2^{2}}{2}\,(\theta_2-\sin\theta_2) =\frac{0{,}5^{2}}{2}\,\bigl(5{,}381130-(-0{,}785996)\bigr).
Passo a passo:
r_2^{2}=0{,}25,\quad \frac{r_2^{2}}{2}=0{,}125,
\theta_2-\sin\theta_2=5{,}381130+0{,}785996=6{,}167126.
A_2=0{,}125\times 6{,}167126\approx 0{,}770891\\ \text{m}^2.
Perímetro molhado:
P_2=r_2\theta_2=0{,}5\times 5{,}381130\approx 2{,}690565\\ \text{m}.
Raio hidráulico:
R_2=\frac{A_2}{P_2}=\frac{0{,}770891}{2{,}690565}\approx 0{,}2866\\ \text{m}.

Passo 10

Aplicando Manning para a tubulação D_2:
Calculo R_2^{2/3} e S^{1/2}:
R_2^{2/3}\approx 0{,}4310\quad(\text{aprox.; }R_2^{1/3}\approx 0{,}657\Rightarrow 0{,}657^2\approx0{,}431),
S^{1/2}=0{,}05\\ (\text{mesmo }S).
Velocidade:
V_2=\frac{1}{n}R_2^{2/3}S^{1/2} =\frac{1}{0{,}014}\times 0{,}4310\times 0{,}05.
0{,}4310\times 0{,}05=0{,}02155,
V_2\approx 71{,}428571\times 0{,}02155\approx 1{,}539\\ \text{m/s}.
Vazão:
Q_2=A_2 V_2\approx 0{,}770891\times 1{,}539\approx 1{,}186\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 11

Comparação e conclusão sobre a substituição:
Encontramos:
Q_1\approx 1{,}42\\ \text{m}^3/\text{s}, \qquad Q_2\approx 1{,}19\\ \text{m}^3/\text{s}.
Como \;Q_2<Q_1, a tubulação proposta de D_2=1{,}0\\ \text{m} operando no máximo com \;h_2=0{,}95D_2 NÃO tem capacidade suficiente para transportar a vazão atual. Portanto a substituição não é possível sem reduzir a vazão exigida ou aumentar a declividade/diâmetro.
Força final de incentivo: você já dominou o passo a passo — é só repetir esse raciocínio em qualquer outro problema parecido. Força na prova!

Resposta

Velocidade na tubulação original: V_1\approx 1{,}77\\ \text{m/s}
Vazão na tubulação original: Q_1\approx 1{,}42\\ \text{m}^3/\text{s}
Substituição possível? Não. Tubulação D=1{,}0\\ \text{m} a 0{,}95D fornece Q_2\approx 1{,}19\\ \text{m}^3/\text{s}<Q_1.

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