Questão 4. Um canal com seção transversal em formato de “U”, com fundo arredondado de raio R=0,50 \mathrm{~m} e laterais verticais, opera com lâmina d’água de 1,20 \mathrm{~m}. A declividade é S=0,0025 \mathrm{~m} / \mathrm{m} e o coeficiente de rugosidade de Manning é n=0,018. Determine a velocidade média e a vazão no canal.

Passo 1

O enunciado dá um canal em forma de “U” com fundo arredondado (meia-seção circular) e paredes verticais. Pede-se a velocidade média e a vazão quando a lâmina d’água é 1,20\\ \mathrm{m}. Dados fornecidos:
R = 0{,}50\\ \mathrm{m},\qquad h = 1{,}20\\ \mathrm{m},\qquad S = 0{,}0025,\qquad n = 0{,}018.
As perguntas são:
  1. Determinar a velocidade média V no canal.
  2. Determinar a vazão Q no canal.

Passo 2

Entender a geometria do escoamento (muito importante). A seção é composta por:
  • uma meia-secção circular (semicircunferência) de raio R formando o fundo arredondado; a “altura” dessa meia-secção é R (do ponto mais baixo até a linha onde as paredes verticais começam);
  • paredes verticais que se elevam a partir das extremidades da semicircunferência.
Como a lâmina d’água h é maior que R (pois 1{,}20>0{,}50), a água cobre totalmente a meia-secção circular e ainda sobe uma altura reta sobre as paredes. A altura da coluna vertical de água acima da semicircunferência é
h_{\text{rect}} = h - R = 1{,}20 - 0{,}50 = 0{,}70\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a área da seção molhada A. Ela é soma da área da meia-circunferência com a área do retângulo formado pelas paredes verticais submersas.
Área da meia-circunferência (fórmula): meia-área do círculo de raio R,
A_{\text{semi}} = \tfrac{1}{2}\pi R^{2}.
Substituindo R=0{,}50\\ \mathrm{m},
A_{\text{semi}} = \tfrac{1}{2}\pi (0{,}50)^{2} = \tfrac{1}{2}\pi \cdot 0{,}25 = 0{,}125\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Valor numérico aproximado:
A_{\text{semi}}\approx 0{,}125\cdot 3{,}14159 = 0{,}39270\\ \mathrm{m^{2}}.
Área do retângulo (duas paredes verticais, largura igual ao diâmetro 2R e altura h_{\text{rect}}):
A_{\text{rect}} = (2R)\,h_{\text{rect}} = (2\cdot 0{,}50)\cdot 0{,}70 = 1{,}00\cdot 0{,}70 = 0{,}70\\ \mathrm{m^{2}}.
Somando as duas partes:
A = A_{\text{semi}} + A_{\text{rect}} \approx 0{,}39270 + 0{,}70 = 1{,}09270\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular o perímetro molhado P. É a soma do comprimento da meia-arco da semicircunferência mais os trechos verticais submersos de ambas as paredes.
Comprimento do arco da meia-circunferência:
L_{\text{arc}} = \pi R.
Substituindo R=0{,}50,
L_{\text{arc}} = \pi\cdot 0{,}50 \approx 3{,}14159\cdot 0{,}50 = 1{,}57080\\ \mathrm{m}.
Comprimento total das paredes submersas (duas paredes, cada uma com altura h_{\text{rect}}):
L_{\text{walls}} = 2\,h_{\text{rect}} = 2\cdot 0{,}70 = 1{,}40\\ \mathrm{m}.
Portanto o perímetro molhado é
P = L_{\text{arc}} + L_{\text{walls}} \approx 1{,}57080 + 1{,}40 = 2{,}97080\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o raio hidráulico R_{h}, que é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado:
R_{h} = \frac{A}{P}.
Substituindo os valores encontrados:
R_{h} \approx \frac{1{,}09270}{2{,}97080} \approx 0{,}3679\\ \mathrm{m}.
(Comentário prático: o raio hidráulico tem dimensão de comprimento e traduz a “efetiva” razão área/contato, útil em fórmulas empíricas de escoamento.)

Passo 6

Apresentar a fórmula de Manning e interpretar cada termo. A fórmula de Manning para velocidade média em escoamentos uniformes é
V = \frac{1}{n}\,R_{h}^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • V é a velocidade média ( \mathrm{m/s});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adiimensional);
  • R_{h} é o raio hidráulico (em \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia (adiimensional); S^{1/2} significa a raiz quadrada de S;
  • R_{h}^{2/3} significa elevar R_{h} à potência 2/3.
Vamos calcular cada peça:
Primeiro a raiz quadrada de S:
S^{1/2} = \sqrt{0{,}0025} = 0{,}05.
Agora R_{h}^{2/3}. Usamos R_{h}\approx 0{,}3679:
R_{h}^{2/3} \approx (0{,}3679)^{2/3}.
Para calcular de forma pedagógica: tirar o log ou usar que (x)^{2/3} = (x^{1/3})^{2}. Numericamente,
R_{h}^{2/3} \approx 0{,}5134\quad(\text{aproximado}).
(Se quiser confirmar: (0{,}3679)^{2/3}\approx \exp\!\big(\tfrac{2}{3}\ln 0{,}3679\big)\approx \exp(-0{,}6667)\approx 0{,}5134.)

Passo 7

Calcular a velocidade V com os valores numéricos:
V = \frac{1}{n}\,R_{h}^{2/3}\,S^{1/2} = \frac{1}{0{,}018}\cdot 0{,}5134\cdot 0{,}05.
Multiplicando os termos:
0{,}5134\cdot 0{,}05 = 0{,}02567.
Dividindo por n:
V \approx \frac{0{,}02567}{0{,}018} \approx 1{,}426\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para a prova, V \approx 1{,}43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a vazão Q. A vazão é dada por
Q = A\,V.
Usando A\approx 1{,}09270\\ \mathrm{m^{2}} e V\approx 1{,}426\\ \mathrm{m/s},
Q \approx 1{,}09270 \cdot 1{,}426 \approx 1{,}558\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Arredondando convenientemente, Q \approx 1{,}56\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 9

Checagem rápida de ordem de grandeza: velocidade 1{,}4\\ \mathrm{m/s} e vazão \sim 1{,}6\\ \mathrm{m^{3}/s} para uma seção de 1{,}09\\ \mathrm{m^{2}} fazem sentido físico — valores razoáveis para um canal pequeno. Isso indica que os cálculos são consistentes.

Resposta

V = 1{,}43\\ \mathrm{m/s}
Q = 1{,}56\\ \mathrm{m^{3}/s}

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