Questão 4. Um canal com seção transversal em formato de “U”, com fundo arredondado de raio
e laterais verticais, opera com lâmina d’água de
. A declividade é
e o coeficiente de rugosidade de Manning é
. Determine a velocidade média e a vazão no canal.
Passo 1
O enunciado dá um canal em forma de “U” com fundo arredondado (meia-seção circular) e paredes verticais. Pede-se a velocidade média e a vazão quando a lâmina d’água é
. Dados fornecidos:
As perguntas são:
- Determinar a velocidade média
no canal. - Determinar a vazão
no canal.
Passo 2
Entender a geometria do escoamento (muito importante). A seção é composta por:
- uma meia-secção circular (semicircunferência) de raio
formando o fundo arredondado; a “altura” dessa meia-secção é (do ponto mais baixo até a linha onde as paredes verticais começam); - paredes verticais que se elevam a partir das extremidades da semicircunferência.
Como a lâmina d’água
é maior que
(pois
), a água cobre totalmente a meia-secção circular e ainda sobe uma altura reta sobre as paredes. A altura da coluna vertical de água acima da semicircunferência é
Passo 3
Calcular a área da seção molhada
. Ela é soma da área da meia-circunferência com a área do retângulo formado pelas paredes verticais submersas.
Área da meia-circunferência (fórmula): meia-área do círculo de raio
,
Substituindo
,
Valor numérico aproximado:
Área do retângulo (duas paredes verticais, largura igual ao diâmetro
e altura
):
Somando as duas partes:
Passo 4
Calcular o perímetro molhado
. É a soma do comprimento da meia-arco da semicircunferência mais os trechos verticais submersos de ambas as paredes.
Comprimento do arco da meia-circunferência:
Substituindo
,
Comprimento total das paredes submersas (duas paredes, cada uma com altura
):
Portanto o perímetro molhado é
Passo 5
Calcular o raio hidráulico
, que é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado:
Substituindo os valores encontrados:
(Comentário prático: o raio hidráulico tem dimensão de comprimento e traduz a “efetiva” razão área/contato, útil em fórmulas empíricas de escoamento.)
Passo 6
Apresentar a fórmula de Manning e interpretar cada termo. A fórmula de Manning para velocidade média em escoamentos uniformes é
onde:
-
é a velocidade média ( ); -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adiimensional); -
é o raio hidráulico (em ); -
é a declividade da linha de energia (adiimensional); significa a raiz quadrada de ; -
significa elevar à potência .
Vamos calcular cada peça:
Primeiro a raiz quadrada de :
Primeiro a raiz quadrada de
Agora
. Usamos
:
Para calcular de forma pedagógica: tirar o log ou usar que
. Numericamente,
(Se quiser confirmar:
.)
Passo 7
Calcular a velocidade
com os valores numéricos:
Multiplicando os termos:
Dividindo por
:
Arredondando de forma prática para a prova,
.
Passo 8
Calcular a vazão
. A vazão é dada por
Usando
e
,
Arredondando convenientemente,
.
Passo 9
Checagem rápida de ordem de grandeza: velocidade
e vazão
para uma seção de
fazem sentido físico — valores razoáveis para um canal pequeno. Isso indica que os cálculos são consistentes.