Questão 3. Uma tubulação retilinea aspira ar atmosférico possui uma tomada de pressão estática. Um manômetro conectado a essa tomada mostra uma deflexão de coluna de água de 55 mm de água abaixo da pressão atmosférica. Considere que o ar além de incompressivel, se comporta como um gás ideal e que está a 303 K e 120000 Pa (absoluta). Calcule a velocidade do ar na tubulação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade do ar na tubulação sabendo que um manômetro ligado à tomada de pressão estática indica uma deflexão de coluna de água de 55\\ \text{mm} abaixo da pressão atmosférica. Informações dadas (vou listar tudo com símbolos):
\begin{aligned} &\text{Altura da coluna de água: } h = 55\\ \text{mm} = 0{,}055\\ \text{m},\\\ &\text{Pressão absoluta do ar: } p = 120000\\ \text{Pa},\\\ &\text{Temperatura do ar: } T = 303\\ \text{K},\\\ &\text{Tratar o ar como gás ideal e incompressível (usar densidade constante).} \end{aligned}áãáí
Também vou usar os valores físicos padrão:
\rho_{\text{água}} = 1000\\ \text{kg/m}^3,\qquad g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2.á
No próximo passo vou calcular a densidade do ar a partir da equação dos gases ideais, porque precisamos dela para relacionar pressão e velocidade.

Passo 2

Calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais. A forma que usamos é
\rho = \frac{p}{R\,T},
onde \rho é a densidade do gás (kg/m³), p é a pressão absoluta (Pa), T é a temperatura (K) e R é a constante específica do ar. Para o ar seco, usamos
R = 287\\ \text{J/(kg·K)}.
Substituindo os valores:
\rho_{\text{ar}} = \frac{120000}{287\cdot 303}.
Faço as contas passo a passo:
287\cdot 303 = 86961,
\rho_{\text{ar}} = \frac{120000}{86961}\approx 1{,}3799\\ \text{kg/m}^3.
Arredondando para três casas significativas, \rho_{\text{ar}}\approx 1{,}380\\ \text{kg/m}^3.

Passo 3

Relacionar a leitura do manômetro com a diferença de pressão entre o exterior (atmosfera) e a tomada estática. Um manômetro com coluna de líquido diz que a pressão na tomada estática p_{\text{est}} é menor que a pressão atmosférica p_{\text{atm}} por uma quantidade igual ao peso da coluna de água:
p_{\text{atm}} - p_{\text{est}} = \rho_{\text{água}}\,g\,h.á
Substituindo números:
p_{\text{atm}} - p_{\text{est}} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}055 = 1000\cdot 0{,}53955 = 539{,}55\\ \text{Pa}.
Portanto a diferença de pressão medida é \Delta p = 539{,}55\\ \text{Pa}.

Passo 4

Usar Bernoulli (ideal, incompressível, sem diferença de altura) para ligar a diferença de pressão com a velocidade. Considero um ponto fora da tubulação (ar em repouso, pressão p_{\text{atm}}, velocidade nula) e o ponto na tomada (pressão p_{\text{est}}, velocidade V). Bernoulli reduz a:
p_{\text{atm}} + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} \cdot 0^2 = p_{\text{est}} + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V^2.
Logo
p_{\text{atm}} - p_{\text{est}} = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} V^2.
Isolando V:
V = \sqrt{\frac{2\,(p_{\text{atm}}-p_{\text{est}})}{\rho_{\text{ar}}}}.

Passo 5

Substituo \Delta p = p_{\text{atm}}-p_{\text{est}} = \rho_{\text{água}} g há e \rho_{\text{ar}} calculada antes:
V = \sqrt{\frac{2\,\rho_{\text{água}}\,g\,h}{\rho_{\text{ar}}}}.á
Agora os números:
\text{numerador} = 2\cdot 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}055 = 1079{,}10,
\frac{\text{numerador}}{\rho_{\text{ar}}} = \frac{1079{,}10}{1{,}3799}\approx 782{,}14,
V = \sqrt{782{,}14}\approx 27{,}97\\ \text{m/s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais, V\approx 27{,}97\\ \text{m/s}. Dá para reportar também como aproximadamente 28{,}0\\ \text{m/s}.

Resposta

27{,}97\\ \text{m/s}

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