Questão 4. Uma tubulação, com 8 km de comprimento e 5 m de diâmetro, fornece água a uma estação de tratamento que está a 668 m abaixo da entrada da tubulação a uma vazão de
Se a superfície do tubo for de concreto, encontre a variação de pressão. A rugosidade do concreto é
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre a variação de pressão entre a entrada da tubulação e a estação de tratamento que está abaixo dela. Dados fornecidos (peguei todos esses dados do enunciado):
Vou definir a variação de pressão como
Nos passos seguintes eu explico tudo (fórmulas, por que usamos, valores assumidos) e calculo
passo a passo.
Passo 2
Primeiro calculamos a área da seção transversal do tubo para obter a velocidade média. A área de um círculo é
Substituindo
:
Explicação curta:
é a área pela qual a água passa; precisamos dela para transformar vazão volumétrica
em velocidade média.
Passo 3
Velocidade média do escoamento:
Substituindo
e o
do passo anterior:
Comentário didático: na prova você normalmente faz
e em seguida
; não esqueça as unidades.
Passo 4
Precisamos do número de Reynolds para saber o regime e escolher a fórmula do fator de atrito. O número de Reynolds é definido por
onde
é a viscosidade cinemática do fluido. O enunciado não deu temperatura, então adotamos a suposição padrão água a
:
e densidade
. Substituindo:
Interpretação:
é muito grande, portanto o escoamento é totalmente turbulento. Isso determina que devemos usar uma fórmula para fator de atrito em regime turbulento (Darcy–Weisbach com fator obtido por Colebrook ou fórmulas explícitas aproximadas).
Passo 5
Fator de atrito de Darcy (
). A equação implícita de Colebrook é a correta, mas ela exige iteração. Para evitar iteração e manter precisão suficiente em prova, usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (válida para escoamento turbulento plenamente desenvolvido):
Aqui
é a rugosidade absoluta e
o diâmetro. Calculamos a razão de rugosidade:
Agora calculemos os termos:
Somando dentro do logaritmo:
Tomando logaritmo e aplicando a fórmula:
Explicação:
é adimensional e na prática para escoamentos em tubos é obtido por Colebrook; Swamee–Jain dá um valor quase idêntico sem iteração.
Passo 6
Perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach:
onde
. Calculamos passo a passo:
Logo
Interpretação: a perda de carga por atrito ao longo dos 8 km é de cerca de
de coluna d’água — relativamente pequena frente aos
de desnível gravitacional.
Passo 7
Agora aplicamos Bernoulli (forma prática para diferença de pressões entre dois pontos em um mesmo escoamento), incluindo perda de carga por atrito. Entre ponto 1 (entrada) e ponto 2 (estação):
onde
é o peso específico do fluido. Como o diâmetro é o mesmo, a velocidade é a mesma nos dois pontos e os termos cinéticos se cancelam. Rearranjando:
Como
, temos
. Assim
Usando
e
:
Conversão e arredondamento representativos:
Interpretação final: a pressão na estação (mais baixa) é maior que na entrada por cerca de
. Esse aumento ocorre porque a coluna de água de
gera uma pressão hidrostática muito maior do que a perda por atrito ao longo do tubo.