Questão Única:
Considere o número complexo (z=-1+i \sqrt{3} e, ao longo dos itens, desenvolva os cálculos apresentando as devidas justificativas e interpretações geométricas no plano complexo.
a) Calcule o módulo de z.
b) Represente o número complexo z no plano cartesiano.
c) Determine um argumento de z e identifique o quadrante em que ele se encontra.
d) Determine o argumento principal de z.
e) Escreva z na forma polar.
f) Considere w=1-i. Calcule z+w e interprete geometricamente o resultado no plano complexo.
g) Calcule o produto \mathrm{z} \cdot \mathrm{w} na forma algébrica.
h) Escreva w na forma polar e, a partir disso, interprete geometricamente o produto z \cdot w, descrevendo os efeitos de rotação e dilatação.
i) Calcule z^{3} utilizando a forma polar (Teorema de De Moivre).
j) Determine todas as raízes cúbicas de z, escrevendo-as na forma trigonométrica.
k) Considere um número complexo qualquer z=r(\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta). Descreva como se comportam geometricamente as n-ésimas raízes de z, explique a relação entre seus argumentos e identifique a figura geométrica formada pelos pontos correspondentes no plano complexo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que cada item pede (peguei o valor de z do enunciado).
  • Dado: z = -1 + i\sqrt{3}.
  • Dado adicional (usado em alguns itens): w = 1 - i.
O enunciado pede, nos itens (a) a (k):
(a) Calcular o módulo de z.
(b) Representar z no plano cartesiano (coordenadas do ponto).
(c) Determinar um argumento de z e identificar em que quadrante ele está.
(d) Determinar o argumento principal de z.
(e) Escrever z na forma polar (trigonométrica e/ou exponencial).
(f) Calcular z+w e interpretar geometricamente esse resultado no plano complexo.
(g) Calcular o produto z\cdot w na forma algébrica.
(h) Escrever w na forma polar e, a partir disso, interpretar geometricamente o produto z\cdot w (efeitos de rotação e dilatação).
(i) Calcular z^{3} utilizando a forma polar (Teorema de De Moivre).
(j) Determinar todas as raízes cúbicas de z, escrevendo-as na forma trigonométrica.
(k) Para z=r(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta) genérico, descrever geometricamente como são as n-ésimas raízes de z, relação entre seus argumentos e a figura geométrica formada.

Passo 2

(a) Como calcular o módulo de um número complexo?
Se z = a + ib, o módulo é a distância ao origem: |z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a=-1 e b=\sqrt{3}. Vou aplicar a fórmula passo a passo:
|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
Interpretação geométrica: |z| é a distância do ponto (-1,\sqrt{3}) até a origem (0,0); essa distância vale 2.

Passo 3

(b) Representação no plano cartesiano: associamos z=a+ib ao ponto (a,b). Então o ponto correspondente a z é
(-1,\sqrt{3}).
Em palavras: no eixo real (horizontal) ir para a esquerda uma unidade ( x=-1) e no eixo imaginário (vertical) subir até y=\sqrt{3} (aprox. 1{,}732). Esse é o lugar geométrico do número z.

Passo 4

(c) Como achar um argumento de z?
O argumento \theta satisfaz \tan\theta = \dfrac{b}{a} quando a\neq 0, e deve ser escolhido conforme o quadrante (sinal de a e b). Aqui a=-1<0 e b=\sqrt{3}>0, então o ponto está no segundo quadrante. Calcule a referência:
\left|\tan\theta_{\text{ref}}\right| = \left|\frac{b}{a}\right| = \frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
Sabemos que \tan(\pi/3)=\sqrt{3}. No segundo quadrante, o ângulo corresponde a \pi - \theta_{\text{ref}}. Assim um argumento possível é
\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Quadrante: segundo quadrante (II), porque x<0 e y>0.
Também é correto dizer que os argumentos possíveis formam a família \theta = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi, com k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

(d) Argumento principal: costuma-se tomar \mathrm{Arg}(z) no intervalo principal (-\pi,\pi] (ou às vezes [0,2\pi), mas o padrão pedido aqui é o principal usual). O valor \dfrac{2\pi}{3} está em (-\pi,\pi], portanto o argumento principal é
\mathrm{Arg}(z)=\frac{2\pi}{3}.

Passo 6

(e) Forma polar/trigonométrica e exponencial: se |z|=r e argumento \theta, então
z = r(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta) = r e^{i\theta}.
Substituindo r=2 e \theta=\dfrac{2\pi}{3},
z = 2\biggl(\cos\frac{2\pi}{3} + i\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}\biggr) = 2e^{i2\pi/3}.
(É a mesma coisa em forma trigonométrica e exponencial.)

Passo 7

(f) Soma z+w. Primeiro escrevo ambos em forma cartesiana e somo coordenada a coordenada:
z+w = (-1 + i\sqrt{3}) + (1 - i) = (-1+1) + i(\sqrt{3}-1) = i(\sqrt{3}-1).
Ou seja, z+w = 0 + i(\sqrt{3}-1). Geometria: somar w=(1,-1) a z=(-1,\sqrt{3}) é traduzir o vetor posição de z pelo vetor w, resultando no ponto (0,\sqrt{3}-1). Numericamente \sqrt{3}-1\approx 0{,}732, então o resultado fica sobre o eixo imaginário positivo, entre a origem e i (mais perto da origem). A soma é uma translação no plano complexo.

Passo 8

(g) Produto z\cdot w na forma algébrica (longa multiplicação): usar (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc). Tomando a=-1, b=\sqrt{3}, c=1, d=-1:
  • Parte real: ac-bd = (-1)\cdot 1 - (\sqrt{3})\cdot(-1) = -1 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-1.
  • Parte imaginária: ad+bc = (-1)\cdot(-1) + (\sqrt{3})\cdot 1 = 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3}+1.
Logo
z\cdot w = (\sqrt{3}-1) + i(\sqrt{3}+1).

Passo 9

(h) Escrever w na forma polar e interpretar z\cdot w geometricamente.
Cálculo de w em polar: w=1-i tem coordenadas (1,-1).
  • Módulo: |w|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
  • Argumento: \tan\varphi = \dfrac{-1}{1}=-1. O ponto (1,-1) está no quadrante IV, então um argumento conveniente é \varphi = -\dfrac{\pi}{4} (ou 7\pi/4, mas o principal é -\pi/4).
Assim
w = \sqrt{2}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{4})\bigr) = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}.
Produto z\cdot w a partir das formas polares: se z = r e^{i\theta} e w = \rho e^{i\varphi}, então
z\cdot w = (r\rho)e^{i(\theta+\varphi)},
ou seja, moduli multiplicam (dilatação pelo fator \rho) e argumentos somam (rotação por \varphi). Substituindo r=2, \theta=2\pi/3, \rho=\sqrt{2}, \varphi=-\pi/4:
  • Módulo do produto: 2\sqrt{2}.
  • Argumento do produto: \dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{8\pi-3\pi}{12} = \dfrac{5\pi}{12}.
Logo, na forma polar:
z\cdot w = 2\sqrt{2}\bigl(\cos(\tfrac{5\pi}{12}) + i\operatorname{sen}(\tfrac{5\pi}{12})\bigr).
Interpretação geométrica: multiplicar por w equivale a dilatar z pelo fator |w|=\sqrt{2} e, simultaneamente, rodar z no sentido anti-horário por -\pi/4 (ou seja, rodar no sentido horário por \pi/4). A equação algébrica do Passo 8 é consistente com essa forma polar — pode-se conferir calculando |(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1)|=\sqrt{8}=2\sqrt{2} e que seu argumento satisfaz \tan(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=2+\sqrt{3}=\tan(\tfrac{5\pi}{12}).

Passo 10

(i) Calcular z^{3} usando De Moivre. Teorema de De Moivre: se z=r(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta) então
z^{n}=r^{n}\bigl(\cos(n\theta) + i\operatorname{sen}(n\theta)\bigr)
para inteiro n. Aqui r=2 e \theta=\dfrac{2\pi}{3}. Então
z^{3}=2^{3}\bigl(\cos(3\cdot \tfrac{2\pi}{3}) + i\operatorname{sen}(3\cdot \tfrac{2\pi}{3})\bigr) =8\bigl(\cos(2\pi) + i\operatorname{sen}(2\pi)\bigr)=8(1+0)=8.
Interpretação: potência elevada a 3 dobra o ângulo para 3\theta (aqui 3\theta=2\pi, que volta à direção positiva do eixo real) e eleva o módulo a 2^{3}=8. O resultado é o número real 8.

Passo 11

(j) Raízes cúbicas de z. Procuramos todos os u tais que u^{3}=z. Em forma polar, se z=r e^{i\theta}, então todas as raízes cúbicas são
u_{k} = r^{1/3} e^{i\left(\dfrac{\theta + 2k\pi}{3}\right)},\qquad k=0,1,2.
Aqui r=2 e \theta=\dfrac{2\pi}{3}. Então
u_{k} = 2^{1/3}\biggl(\cos\!\Bigl(\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{3}\Bigr) + i\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{2\pi/3 + 2k\pi}{3}\Bigr)\biggr) =2^{1/3}\biggl(\cos\!\Bigl(\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\Bigr) + i\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\Bigr)\biggr),
para k=0,1,2. Esses três números são as três raízes cúbicas distintas de z.

Passo 12

(k) Comportamento geométrico das n-ésimas raízes de um número complexo genérico z=r(\cos\theta + i\operatorname{sen}\theta).
  • Fórmula geral: as n-ésimas raízes são
u_{k} = r^{1/n}\biggl(\cos\!\Bigl(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\Bigr) + i\operatorname{sen}\!\Bigl(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\Bigr)\biggr), \qquad k=0,1,\dots,n-1.
  • Argumentos: os argumentos dessas raízes formam uma progressão aritmética com diferença \dfrac{2\pi}{n}:
\arg(u_{k}) = \frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}{n},\quad k=0,\dots,n-1.
Ou seja, os ângulos estão igualmente espaçados por \dfrac{2\pi}{n}.
  • Módulos: todos os u_{k} têm o mesmo módulo r^{1/n}. Portanto todos estão sobre a circunferência de raio r^{1/n} centrada na origem.
  • Figura geométrica formada: os pontos correspondentes aos n-ésimos raízes são os vértices de um polígono regular de n lados (um n‑gono regular) inscritos na circunferência de raio r^{1/n}. Eles são simétricos em relação à origem e estão separados por rotações de \dfrac{2\pi}{n}. Em particular, multiplicar uma raiz por uma raiz primitiva de unidade e^{2\pi i/n} desloca ciclicamente entre essas raízes (rotação por \tfrac{2\pi}{n}).
Dica amiga: mentalize as raízes como um “relógio” com n posições igualmente espaçadas, todas à mesma distância do centro (origem). Isso ajuda muito na prova!

Resposta

(a) |z|=2
(b) Ponto (-1,\sqrt{3}) no plano complexo.
(c) Um argumento: \dfrac{2\pi}{3}. Quadrante: II.
(d) Argumento principal: \mathrm{Arg}(z)=\dfrac{2\pi}{3}.
(e) z=2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\operatorname{sen}\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=2e^{i2\pi/3}.
(f) z+w = i(\sqrt{3}-1) (ponto (0,\sqrt{3}-1); soma corresponde a translação de z por w).
(g) z\cdot w=(\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}+1).
(h) w=\sqrt{2}\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4})+i\operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{4})\bigr)=\sqrt{2}e^{-i\pi/4}. Assim z\cdot w=2\sqrt{2}\bigl(\cos\tfrac{5\pi}{12}+i\operatorname{sen}\tfrac{5\pi}{12}\bigr): dilatação por |w|=\sqrt{2} e rotação por \arg(w)=-\tfrac{\pi}{4}.
(i) z^{3}=8.
(j) Raízes cúbicas: u_{k}=2^{1/3}\bigl(\cos(\tfrac{2\pi}{9}+\tfrac{2k\pi}{3})+i\operatorname{sen}(\tfrac{2\pi}{9}+\tfrac{2k\pi}{3})\bigr), k=0,1,2.
(k) As n-ésimas raízes são u_{k}=r^{1/n}\bigl(\cos(\tfrac{\theta+2k\pi}{n})+i\operatorname{sen}(\tfrac{\theta+2k\pi}{n})\bigr), k=0,\dots,n-1: argumentos em progressão aritmética de razão \tfrac{2\pi}{n}, todas com módulo r^{1/n} e formando os vértices de um polígono regular inscrito na circunferência de raio r^{1/n}.

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