Questāo 4. (1,5) Uma urna contém 90 bolas brancas e 10 vermelhas. Suponha que 10 bolas sejam retiradas uma de cada vez, ao acaso e com reposição desta caixa. Encontre uma expressão para a probabilidade de que exatamente 8 das bolas retiradas sejam brancas? Justifique sua resposta. O valor numérico exato não é necessário.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Informações fornecidas:
- A urna tem
bolas brancas e bolas vermelhas. - Serão feitas
retiradas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição. - A cada retirada a composição da urna volta ao estado inicial (por isso as retiradas são independentes).
Pergunta pedida: - Encontre uma expressão para a probabilidade de que exatamente
das bolas retiradas sejam brancas. Justifique a resposta.
Passo 2
Vamos primeiro achar a probabilidade de sucesso numa única retirada (vou chamar de “sucesso” o acontecimento “sair branca”, porque é isso que queremos contar). Como há
brancas dentre
bolas no total, a probabilidade de obter uma branca em uma retirada é
A probabilidade de obter uma vermelha (falha) é portanto
A reposição garante que essa
é a mesma em todas as retiradas e que as retiradas são independentes.
Passo 3
Agora vamos modelar o número de bolas brancas em
retiradas. Seja
a variável que conta quantas brancas aparecem nas
retiradas. Cada retirada tem só dois resultados relevantes (branca ou não), com probabilidade constante
, e as retiradas são independentes — esse é o cenário clássico em que o número de sucessos em
tentativas segue a fórmula que vamos usar a seguir.
Passo 4
A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas independentes com probabilidade
de sucesso em cada tentativa é
Explicando cada termo:
-
é a probabilidade de exatamente sucessos. -
é o número total de tentativas (aqui ). -
é o número de sucessos que queremos (aqui ). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui ). -
(lê-se "combinatório de sobre ") conta de quantas maneiras diferentes os sucessos podem ocorrer nas posições. A razão: cada arranjo com sucessos e falhas tem probabilidade (produto por independência), e há arranjos distintos.
Um pequeno exemplo ilustrativo: se
e
, as sequências possíveis com exatamente duas brancas são
,
,
(3 maneiras), por isso aparece
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
,
,
):
Se você quiser ver o combinatório em forma factorial:
portanto a expressão também pode ser escrita como
Passo 6
Justificativa curta e prática para a prova: usamos essa fórmula porque temos (1) número fixo de tentativas
, (2) apenas dois resultados por tentativa (branca ou não), (3) probabilidade de sucesso constante
e (4) independência das tentativas (garantida pela reposição). Esses quatro pontos são exatamente as hipóteses que tornam válida a fórmula acima. Dica de prova: identifique
rapidamente e aplique a fórmula; se precisar do valor numérico, calcule com uma calculadora ou simplifique como mostrei.