Questāo 4. (1,5) Uma urna contém 90 bolas brancas e 10 vermelhas. Suponha que 10 bolas sejam retiradas uma de cada vez, ao acaso e com reposição desta caixa. Encontre uma expressão para a probabilidade de que exatamente 8 das bolas retiradas sejam brancas? Justifique sua resposta. O valor numérico exato não é necessário.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa bem específica. Informações fornecidas:
  • A urna tem 90 bolas brancas e 10 bolas vermelhas.
  • Serão feitas 10 retiradas, uma de cada vez, ao acaso e com reposição.
  • A cada retirada a composição da urna volta ao estado inicial (por isso as retiradas são independentes).
    Pergunta pedida:
  • Encontre uma expressão para a probabilidade de que exatamente 8 das 10 bolas retiradas sejam brancas. Justifique a resposta.

Passo 2

Vamos primeiro achar a probabilidade de sucesso numa única retirada (vou chamar de “sucesso” o acontecimento “sair branca”, porque é isso que queremos contar). Como há 90 brancas dentre 100 bolas no total, a probabilidade de obter uma branca em uma retirada é
p=\frac{90}{100}=0,9.
A probabilidade de obter uma vermelha (falha) é portanto
1-p=0,1.
A reposição garante que essa p é a mesma em todas as retiradas e que as retiradas são independentes.

Passo 3

Agora vamos modelar o número de bolas brancas em 10 retiradas. Seja X a variável que conta quantas brancas aparecem nas 10 retiradas. Cada retirada tem só dois resultados relevantes (branca ou não), com probabilidade constante p, e as retiradas são independentes — esse é o cenário clássico em que o número de sucessos em n tentativas segue a fórmula que vamos usar a seguir.

Passo 4

A fórmula geral para a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p de sucesso em cada tentativa é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada termo:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k sucessos.
  • n é o número total de tentativas (aqui n=10).
  • k é o número de sucessos que queremos (aqui k=8).
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (aqui p=0,9).
  • \binom{n}{k} (lê-se "combinatório de n sobre k") conta de quantas maneiras diferentes os k sucessos podem ocorrer nas n posições. A razão: cada arranjo com k sucessos e n-k falhas tem probabilidade p^{k}(1-p)^{n-k} (produto por independência), e há \binom{n}{k} arranjos distintos.
Um pequeno exemplo ilustrativo: se n=3 e k=2, as sequências possíveis com exatamente duas brancas são BBW, BWB, WBB (3 maneiras), por isso aparece \binom{3}{2}=3.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( n=10, k=8, p=0,9):
\Pr(X=8)=\binom{10}{8}\,(0,9)^{8}\,(0,1)^{2}.
Se você quiser ver o combinatório em forma factorial:
\binom{10}{8}=\frac{10!}{8!\,2!}=45,
portanto a expressão também pode ser escrita como
45\cdot(0,9)^{8}\cdot(0,1)^{2}.

Passo 6

Justificativa curta e prática para a prova: usamos essa fórmula porque temos (1) número fixo de tentativas n, (2) apenas dois resultados por tentativa (branca ou não), (3) probabilidade de sucesso constante p e (4) independência das tentativas (garantida pela reposição). Esses quatro pontos são exatamente as hipóteses que tornam válida a fórmula acima. Dica de prova: identifique n,p,k rapidamente e aplique a fórmula; se precisar do valor numérico, calcule com uma calculadora ou simplifique como mostrei.

Resposta

\displaystyle \binom{10}{8}\,(0,9)^{8}\,(0,1)^{2}

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