Questão 2. (1,5) Suponha que P(A)=0,7, P(B)=0,5 e P(A \cap B)=0,2. Determine
(0,5) P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar P\left(A^{c} \cap B^{c}\right). As informações dadas são:
P(A)=0,7,
P(B)=0,5,
P(A \cap B)=0,2.

Passo 2

Lembra da Lei de De Morgan para conjuntos: o complementar da união é a interseção dos complementares. Em símbolos:
A^{c} \cap B^{c} = (A \cup B)^{c}.
Isto significa que o evento “nem A nem B acontecem” é o mesmo que “não (A ou B) acontece”.

Passo 3

Para probabilidades, existe a regra do complementar: para qualquer evento E,
P(E^{c}) = 1 - P(E).
Aplicando ao evento E = A \cup B, obtemos
P\left(A^{c} \cap B^{c}\right) = P\big((A\cup B)^{c}\big) = 1 - P(A\cup B).
Aqui eu usei que A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c} (passo anterior) e a regra do complementar.

Passo 4

Agora precisamos de P(A\cup B). A fórmula da probabilidade da união de dois eventos é:
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
Essa fórmula evita contar duas vezes a interseção A\cap B: somamos P(A) e P(B) e subtraímos a parte que foi contada duas vezes, P(A\cap B).

Passo 5

Substituímos os valores fornecidos na fórmula da união:
Primeiro calcule P(A)+P(B):
0,7 + 0,5 = 1,2.
Agora subtraímos P(A\cap B)=0,2:
P(A\cup B) = 1,2 - 0,2 = 1,0.

Passo 6

Voltando à relação do complementar:
P\left(A^{c} \cap B^{c}\right) = 1 - P(A\cup B) = 1 - 1,0 = 0.
Interpretação: como P(A\cup B)=1, os eventos A e B juntos cobrem todo o espaço amostral, então a probabilidade de nenhum deles ocorrer é zero.

Resposta

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