Questāo 3.
Considere uma urna com 90 bolas brancas e 10 vermelhas. Suponha que 10 bolas sejam selecionadas desta urna, ao acaso e todas de uma vez. Encontre uma expressão para a probabilidade de que no máximo 1 bola branca seja selecionada na amostra?
Passo 1
Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos. Temos:
- Uma urna com
bolas brancas e bolas vermelhas.
- Selecionam-se
bolas “todas de uma vez” (ou seja, sem reposição).
- Pergunta: encontrar uma expressão para a probabilidade de que no máximo
bola branca seja selecionada na amostra (ou seja, ou bola branca).
- Portanto queremos
.
Passo 2
Explico a ideia combinatória que vamos usar (a chamada distribuição hipergeométrica): quando tiramos
objetos sem reposição de uma população finita, a forma natural de contar probabilidades é comparar o número de maneiras favoráveis com o número total de maneiras de escolher a amostra.
- Total de maneiras de escolher
bolas dentre é dado por
onde
é o número de combinações de
elementos entre
e é definido por
com
(fatorial) sendo
. Esse número conta quantas amostras diferentes (sem ordem) de tamanho
podemos formar a partir de
itens.
Passo 3
Agora conto as maneiras favoráveis para um número fixo
de bolas brancas na amostra.
- Se queremos exatamente
bolas brancas na amostra de , precisamos escolher das brancas e os restantes dentre as vermelhas. O número de maneiras favoráveis é
- A probabilidade de exatamente
brancas é, portanto,
(Isto é a fórmula hipergeométrica; numerador = escolhas de brancas × escolhas de vermelhas, denominador = todas as escolhas possíveis.)
Passo 4
Aplicamos ao caso pedido (no máximo
branca), somando
e
:
Passo 5
Calculo/simplifico os coeficientes binomiais usados (passo a passo, como você faria na prova sem calculadora):
-
porque há exatamente uma maneira de escolher zero itens.
-
porque escolher todas as 10 dentre 10 só tem uma maneira.
-
porque escolher 1 dentre 90 tem 90 opções.
-
porque escolher 9 dentre 10 deixa uma bola de fora, então são escolhas.
Substituindo esses valores no somatório do passo anterior, o numerador fica
enquanto o denominador permanece
.