Questāo 3. (1,0) Considere uma urna com 90 bolas brancas e 10 vermelhas. Suponha que 10 bolas sejam selecionadas desta urna, ao acaso e todas de uma vez. Encontre uma expressão para a probabilidade de que no máximo 1 bola branca seja selecionada na amostra?

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos. Temos:
  • Uma urna com 90 bolas brancas e 10 bolas vermelhas.
  • Selecionam-se 10 bolas “todas de uma vez” (ou seja, sem reposição).
  • Pergunta: encontrar uma expressão para a probabilidade de que no máximo 1 bola branca seja selecionada na amostra (ou seja, 0 ou 1 bola branca).
  • Portanto queremos P(\text{# brancas} \le 1)=P(\text{# brancas}=0)+P(\text{# brancas}=1).

Passo 2

Explico a ideia combinatória que vamos usar (a chamada distribuição hipergeométrica): quando tiramos n objetos sem reposição de uma população finita, a forma natural de contar probabilidades é comparar o número de maneiras favoráveis com o número total de maneiras de escolher a amostra.
  • Total de maneiras de escolher 10 bolas dentre 100 é dado por
\binom{100}{10},
onde \binom{n}{k} é o número de combinações de k elementos entre n e é definido por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
com n! (fatorial) sendo n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Esse número conta quantas amostras diferentes (sem ordem) de tamanho k podemos formar a partir de n itens.

Passo 3

Agora conto as maneiras favoráveis para um número fixo k de bolas brancas na amostra.
  • Se queremos exatamente k bolas brancas na amostra de 10, precisamos escolher k das 90 brancas e os restantes 10-k dentre as 10 vermelhas. O número de maneiras favoráveis é
\binom{90}{k}\binom{10}{10-k}.
  • A probabilidade de exatamente k brancas é, portanto,
P(\text{# brancas}=k)=\frac{\binom{90}{k}\binom{10}{10-k}}{\binom{100}{10}}.
(Isto é a fórmula hipergeométrica; numerador = escolhas de brancas × escolhas de vermelhas, denominador = todas as escolhas possíveis.)

Passo 4

Aplicamos ao caso pedido (no máximo 1 branca), somando k=0 e k=1:
P(\text{# brancas}\le 1)=P(\text{# brancas}=0)+P(\text{# brancas}=1)= \frac{\binom{90}{0}\binom{10}{10}}{\binom{100}{10}}+\frac{\binom{90}{1}\binom{10}{9}}{\binom{100}{10}}.

Passo 5

Calculo/simplifico os coeficientes binomiais usados (passo a passo, como você faria na prova sem calculadora):
  • \binom{90}{0}=1 porque há exatamente uma maneira de escolher zero itens.
  • \binom{10}{10}=1 porque escolher todas as 10 dentre 10 só tem uma maneira.
  • \binom{90}{1}=90 porque escolher 1 dentre 90 tem 90 opções.
  • \binom{10}{9}=10 porque escolher 9 dentre 10 deixa uma bola de fora, então são 10 escolhas.

    Substituindo esses valores no somatório do passo anterior, o numerador fica
1\cdot 1 + 90\cdot 10 = 1 + 900 = 901,
enquanto o denominador permanece \binom{100}{10}.

Resposta

\frac{901}{\binom{100}{10}}

Exercícios relacionados