Questão 4. Usando coordenadas esféricas, calcule as seguintes integrais: \iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V onde B:=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 5\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral sobre o sólido B definido por
B := \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5\}
da função \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}. Ou seja, precisamos avaliar o integral de volume
Informações dadas que vamos usar: o domínio é a bola centrada na origem com raio \sqrt{5} (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5). A integranda depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}, portanto é radial (só depende da distância ao centro).
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas esféricas. Primeiro lembrando o que são as variáveis esféricas e seus significados:
\;r é a distância do ponto à origem: \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, com \;r\ge 0.
\;\varphi é o ângulo polar (colatitude), o ângulo entre o vetor posição e o eixo z: \;0\le\varphi\le\pi.
\;\theta é o ângulo azimutal no plano xy: \;0\le\theta<2\pi.
A transformação do cartesiano para esféricas é
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
Passo 3
Precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano). O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve explicação didática: essa fatoração r^{2}\sin\varphi aparece porque pequenas variações dr, d\varphi, d\theta geram um paralelepípedo curvo cujo volume aproxima-se por dr \times (r\,d\varphi) \times (r\sin\varphi\,d\theta), daí r\cdot r\sin\varphi = r^{2}\sin\varphi.
Passo 4
A integranda \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} em coordenadas esféricas fica simplesmente \;r^{4}, pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e elevando ao quadrado dá r^{4}. Multiplicando pelo elemento de volume obtemos o integrando em esféricas:
r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.
Agora escrevemos o integral com os limites: r varia de 0 a \sqrt{5}, \varphi de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi. Assim