Questão 4. Usando coordenadas esféricas, calcule as seguintes integrais:
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V onde B:=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 5\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral sobre o sólido B definido por
B := \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5\}
da função \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}. Ou seja, precisamos avaliar o integral de volume
\iiint_{B} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV.
Informações dadas que vamos usar: o domínio é a bola centrada na origem com raio \sqrt{5} (porque x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 5). A integranda depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2}, portanto é radial (só depende da distância ao centro).

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas esféricas. Primeiro lembrando o que são as variáveis esféricas e seus significados:
  • \;r é a distância do ponto à origem: \;r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, com \;r\ge 0.
  • \;\varphi é o ângulo polar (colatitude), o ângulo entre o vetor posição e o eixo z: \;0\le\varphi\le\pi.
  • \;\theta é o ângulo azimutal no plano xy: \;0\le\theta<2\pi.
A transformação do cartesiano para esféricas é
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.

Passo 3

Precisamos também do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano). O elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve explicação didática: essa fatoração r^{2}\sin\varphi aparece porque pequenas variações dr, d\varphi, d\theta geram um paralelepípedo curvo cujo volume aproxima-se por dr \times (r\,d\varphi) \times (r\sin\varphi\,d\theta), daí r\cdot r\sin\varphi = r^{2}\sin\varphi.

Passo 4

A integranda \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} em coordenadas esféricas fica simplesmente \;r^{4}, pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e elevando ao quadrado dá r^{4}. Multiplicando pelo elemento de volume obtemos o integrando em esféricas:
r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.
Agora escrevemos o integral com os limites: r varia de 0 a \sqrt{5}, \varphi de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi. Assim
\iiint_{B} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{5}} r^{6}\sin\varphi \;dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

A integral é produto de partes que dependem separadamente de r, \varphi e \theta, então podemos separar:
\int_{0}^{2\pi} d\theta \;\cdot\; \int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi \;\cdot\; \int_{0}^{\sqrt{5}} r^{6}\,dr.
Isto facilita muito — uma técnica padrão quando a integranda e o domínio têm simetria radial.

Passo 6

Calcule as integrais angulares primeiro.
  1. A integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  1. A integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi.
Uma primitiva de \sin\varphi é -\cos\varphi. Avaliando de 0 a \pi
\int_{0}^{\pi} \sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = -(-1) - ( -1) = 2.
Então o produto das integrais angulares é 2\pi\cdot 2 = 4\pi.

Passo 7

Calcule a integral radial:
\int_{0}^{\sqrt{5}} r^{6}\,dr.
A primitiva de r^{6} é \dfrac{r^{7}}{7}. Avaliando de 0 a \sqrt{5} obtemos
\int_{0}^{\sqrt{5}} r^{6}\,dr = \left.\frac{r^{7}}{7}\right|_{0}^{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5})^{7}}{7}.
Simplificando a potência, (\sqrt{5})^{7} = \big(5^{1/2}\big)^{7} = 5^{7/2}. Assim a integral radial vale \dfrac{5^{7/2}}{7}.

Passo 8

Multiplicando o resultado radial pelo fator angular 4\pi temos o valor do integral total:
\iiint_{B} \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\,dV = 4\pi \cdot \frac{5^{7/2}}{7} = \frac{4\pi}{7}\,5^{7/2}.
Podemos também escrever de forma equivalente \dfrac{4}{7}\pi 5^{7/2}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{7}\,5^{7/2}

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