Questão 8. O plano
corta o elipsoide sólido
em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e o elipsoide sólido
.
Pede-se: encontrar o volume do pedaço menor que resulta da interseção do plano com o elipsoide (ou seja, o “cap” que é cortado do elipsoide pelo plano).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os parâmetros definem o elipsoide e o plano passa pelos pontos
,
,
, que estão na superfície do elipsoide.
Pede-se: encontrar o volume do pedaço menor que resulta da interseção do plano com o elipsoide (ou seja, o “cap” que é cortado do elipsoide pelo plano).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os parâmetros
Passo 2
Idéia para simplificar: usar a transformação linear diagonal que normaliza o elipsoide para a esfera unidade. Defina as variáveis
Sob essa mudança:
ou seja, o elipsoide vira a esfera unidade. O plano transforma-se em
Além disso, a mudança é a aplicação linear
cujo determinante é
. Isso significa que volumes se escalonam por um fator
: se
é o volume do pedaço correspondente na esfera unidade, então o volume do pedaço no elipsoide é
Passo 3
Então reduziu-se o problema a: encontrar o volume do pedaço menor da esfera unidade
cortado pelo plano
, e multiplicar por
.
Geometricamente, isso é um “spherical cap” (um segmento esférico). Para calcular esse volume precisamos da distância do centro da esfera
ao plano
. A fórmula da distância ponto-plano dá
Geometricamente, isso é um “spherical cap” (um segmento esférico). Para calcular esse volume precisamos da distância
A esfera tem raio
, logo a altura do cap (medida do plano até a “ponta” do cap, ao longo da normal) é
Esse
é a altura do pedaço menor (o cap).
Passo 4
Agora a fórmula do volume de um spherical cap de raio
e altura
é
Explico rapidamente de onde vem (passo a passo pequeno): alinhe o eixo
com a direção normal do plano (isto é, escolha coordenada tal que o centro fique em
e a ponta do cap em
). A seção transversal a uma distância
do centro tem raio
e área
. Integrando dessas fatias de
até
dá
uma manipulação que simplifica exatamente para
com
. Portanto a fórmula é válida; aplicamos com
e
.
Passo 5
Calculemos
e depois
. Primeiro
Então
E
Multiplicando na fórmula do cap (com
):
Calcule o numerador:
Logo
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar a aparência:
Passo 6
Finalmente, voltando ao elipsoide, multiplicamos por
:
Podemos escrever de forma levemente factorizada: