Questão 8. O plano \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 corta o elipsoide sólido \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 em dois pedaços. Encontre o volume do pedaço menor.

Passo 1

O enunciado dá o plano \displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 e o elipsoide sólido \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
Pede-se: encontrar o volume do pedaço menor que resulta da interseção do plano com o elipsoide (ou seja, o “cap” que é cortado do elipsoide pelo plano).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: os parâmetros a,b,c>0 definem o elipsoide e o plano passa pelos pontos (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c), que estão na superfície do elipsoide.

Passo 2

Idéia para simplificar: usar a transformação linear diagonal que normaliza o elipsoide para a esfera unidade. Defina as variáveis
u=\frac{x}{a},\qquad v=\frac{y}{b},\qquad w=\frac{z}{c}.
Sob essa mudança:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\quad\Longrightarrow\quad u^{2}+v^{2}+w^{2}=1,
ou seja, o elipsoide vira a esfera unidade. O plano transforma-se em
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\quad\Longrightarrow\quad u+v+w=1.
Além disso, a mudança é a aplicação linear (u,v,w)\mapsto (x,y,z)=(au,bv,cw) cujo determinante é \det\operatorname{diag}(a,b,c)=abc. Isso significa que volumes se escalonam por um fator abc: se V_{\text{esfera}} é o volume do pedaço correspondente na esfera unidade, então o volume do pedaço no elipsoide é
V_{\text{elipsoide}}=abc\;V_{\text{esfera}}.

Passo 3

Então reduziu-se o problema a: encontrar o volume do pedaço menor da esfera unidade u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1 cortado pelo plano u+v+w=1, e multiplicar por abc.
Geometricamente, isso é um “spherical cap” (um segmento esférico). Para calcular esse volume precisamos da distância d do centro da esfera (0,0,0) ao plano u+v+w=1. A fórmula da distância ponto-plano dá
d=\frac{|1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
A esfera tem raio R=1, logo a altura do cap (medida do plano até a “ponta” do cap, ao longo da normal) é
h=R-d=1-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Esse h é a altura do pedaço menor (o cap).

Passo 4

Agora a fórmula do volume de um spherical cap de raio R e altura h é
V_{\text{cap}}=\pi h^{2}\Bigl(R-\frac{h}{3}\Bigr).
Explico rapidamente de onde vem (passo a passo pequeno): alinhe o eixo t com a direção normal do plano (isto é, escolha coordenada tal que o centro fique em t=0 e a ponta do cap em t=R). A seção transversal a uma distância t do centro tem raio \sqrt{R^{2}-t^{2}} e área \pi(R^{2}-t^{2}). Integrando dessas fatias de t=d até t=R
V=\int_{t=d}^{R}\pi(R^{2}-t^{2})\,dt=\pi\Bigl[R^{2}t-\frac{t^{3}}{3}\Bigr_{d}^{R}\Bigr] =\pi\Bigl(R^{3}-\frac{R^{3}}{3}-R^{2}d+\frac{d^{3}}{3}\Bigr),
uma manipulação que simplifica exatamente para \pi h^{2}(R-h/3) com h=R-d. Portanto a fórmula é válida; aplicamos com R=1 e h=1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Calculemos h e depois V_{\text{esfera}}. Primeiro
h=1-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.
Então
h^{2}=\frac{(\sqrt{3}-1)^{2}}{3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{3}.
E
1-\frac{h}{3}=1-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}}.
Multiplicando na fórmula do cap (com R=1):
V_{\text{esfera}}=\pi\,h^{2}\Bigl(1-\frac{h}{3}\Bigr) =\pi\cdot\frac{4-2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}} =\pi\cdot\frac{(4-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{9\sqrt{3}}.
Calcule o numerador:
(4-2\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)=6\sqrt{3}-8.
Logo
V_{\text{esfera}}=\pi\cdot\frac{6\sqrt{3}-8}{9\sqrt{3}}.
Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3} para simplificar a aparência:
V_{\text{esfera}}=\pi\cdot\frac{18-8\sqrt{3}}{27}.

Passo 6

Finalmente, voltando ao elipsoide, multiplicamos por abc:
V_{\text{elipsoide}}=abc\;V_{\text{esfera}}=abc\cdot\pi\cdot\frac{18-8\sqrt{3}}{27}.
Podemos escrever de forma levemente factorizada:
V_{\text{elipsoide}}=\frac{\pi abc}{27}\bigl(18-8\sqrt{3}\bigr) =\frac{2\pi abc}{27}\bigl(9-4\sqrt{3}\bigr).

Resposta

\displaystyle V=\frac{\pi abc}{27}\bigl(18-8\sqrt{3}\bigr)

Exercícios relacionados