Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
\iiint_{D} \frac{1}{1+(x+y+z)^{2}} d V \quad onde \quad B:=\{(x, y, z) \mid 0 \leq y-z \leq x+y+z, 0 \leq x+y+z \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{D} \frac{1}{1+(x+y+z)^{2}}\,dV
onde foi dado o conjunto (vou assumir que D=B)
B := \{(x,y,z)\mid 0 \le y-z \le x+y+z,\; 0 \le x+y+z \le 1\}.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A integranda depende apenas da combinação linear x+y+z.
  • As restrições do domínio são as desigualdades 0\le y-z\le x+y+z e 0\le x+y+z\le1.
  • Observe que não há nenhuma outra restrição sobre x,y,z; portanto existe uma liberdade (uma direção) sem limites explícitos no conjunto B.

Passo 2

Ideia natural: fazer mudança de variáveis que torne as duas combinações que aparecem nas restrições como variáveis próprias. Definimos as novas variáveis lineares
u = x+y+z,\qquad v = y-z,
e escolhemos uma terceira variável livre que juntamente com u,v forme uma base invertível do espaço; uma escolha simples é
w = x.
Comentário didático curto: escolher u e v assim faz a integral e as desigualdades ficarem muito simples, pois a integranda só depende de u e as restrições envolvem u e v. A variável w representa a direção “restante” que no enunciado não está limitada.

Passo 3

Expressar (x,y,z) em função de (u,v,w). Temos w=x. Também
y+z = u - x = u - w,
e y-z = v. Resolvendo o sistema para y e z por soma e diferença:
y = \frac{(y+z)+(y-z)}{2} = \frac{u-w+v}{2},
z = \frac{(y+z)-(y-z)}{2} = \frac{u-w-v}{2}.
Portanto a transformação inversa é
x = w,\qquad y = \frac{u-w+v}{2},\qquad z = \frac{u-w-v}{2}.

Passo 4

Calcular o Jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z). Montamos a matriz das derivadas parciais \partial(x,y,z)/\partial(u,v,w):
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante (vou fazer direto usando a regra de Sarrus / expansão):
\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[4pt]\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = 1\cdot\Big(\frac{1}{2}\cdot\big(-\frac{1}{2}\big)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\Big) = -\frac{1}{4}-\frac{1}{4} = -\frac{1}{2}.
O valor absoluto do Jacobiano é
\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| = \frac{1}{2}.
Comentário didático: o Jacobiano dá o fator de escala entre volumes em (u,v,w) e em (x,y,z); como é constante aqui, ele simplifica bastante a mudança de variáveis.]

Passo 5

Transformar as desigualdades do domínio usando as novas variáveis. Pelas definições:
u = x+y+z,\qquad v = y-z.
As desigualdades do enunciado ficam simplesmente
0 \le v \le u,\qquad 0 \le u \le 1.
Não há nenhuma desigualdade envolvendo w, então w varia livremente por (-\infty,\infty). Portanto, em coordenadas (u,v,w) o domínio é
\{(u,v,w)\mid 0\le u\le 1,\; 0\le v\le u,\; w\in\mathbb{R}\}.
Observação importante: isto mostra que o domínio é ilimitado na direção w.

Passo 6

Reescrever a integranda e o elemento de volume. Como u=x+y+z, temos
\frac{1}{1+(x+y+z)^2} = \frac{1}{1+u^2}.
E o elemento de volume transforma como
dV = \left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\,du\,dv\,dw = \frac{1}{2}\,du\,dv\,dw.
Portanto a integral se torna
\iiint_{D}\frac{1}{1+(x+y+z)^2}\,dV = \int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{u}\int_{w=-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{1}{2}\,dw\,dv\,du.

Passo 7

Avaliar as integrais na ordem indicada: a integranda separa a variável w (aparece apenas como fator constante), então a integral em w é
\int_{w=-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{1}{2}\,dw = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+u^2}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}1\,dw.
Mas
\int_{-\infty}^{\infty}1\,dw = +\infty,
porque é a medida do eixo real inteiro. Logo o resultado da integral iterada é infinito (diverge), independentemente das integrais em u e v que sejam finitas ou não.

Passo 8

Conclusão e interpretação: como o domínio é ilimitado na direção w e a integranda é positiva e não nula em uma faixa de u, o volume “infinito” na direção w faz com que a integral triple seja divergente. Em outras palavras, a mudança de variáveis revelou que a integral contém um fator infinito vindo da integral em w, portanto a integral tripla não converge.

Resposta

+\infty

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