A integranda depende apenas da combinação linear x+y+z.
As restrições do domínio são as desigualdades 0\le y-z\le x+y+z e 0\le x+y+z\le1.
Observe que não há nenhuma outra restrição sobre x,y,z; portanto existe uma liberdade (uma direção) sem limites explícitos no conjunto B.
Passo 2
Ideia natural: fazer mudança de variáveis que torne as duas combinações que aparecem nas restrições como variáveis próprias. Definimos as novas variáveis lineares
u = x+y+z,\qquad v = y-z,
e escolhemos uma terceira variável livre que juntamente com u,v forme uma base invertível do espaço; uma escolha simples é
w = x.
Comentário didático curto: escolher u e v assim faz a integral e as desigualdades ficarem muito simples, pois a integranda só depende de u e as restrições envolvem u e v. A variável w representa a direção “restante” que no enunciado não está limitada.
Passo 3
Expressar (x,y,z) em função de (u,v,w). Temos w=x. Também
y+z = u - x = u - w,
e y-z = v. Resolvendo o sistema para y e z por soma e diferença:
y = \frac{(y+z)+(y-z)}{2} = \frac{u-w+v}{2},
z = \frac{(y+z)-(y-z)}{2} = \frac{u-w-v}{2}.
Portanto a transformação inversa é
x = w,\qquad y = \frac{u-w+v}{2},\qquad z = \frac{u-w-v}{2}.
Passo 4
Calcular o Jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z). Montamos a matriz das derivadas parciais \partial(x,y,z)/\partial(u,v,w):
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante (vou fazer direto usando a regra de Sarrus / expansão):
Comentário didático: o Jacobiano dá o fator de escala entre volumes em (u,v,w) e em (x,y,z); como é constante aqui, ele simplifica bastante a mudança de variáveis.]
Passo 5
Transformar as desigualdades do domínio usando as novas variáveis. Pelas definições:
u = x+y+z,\qquad v = y-z.
As desigualdades do enunciado ficam simplesmente
0 \le v \le u,\qquad 0 \le u \le 1.
Não há nenhuma desigualdade envolvendo w, então w varia livremente por (-\infty,\infty). Portanto, em coordenadas (u,v,w) o domínio é
porque é a medida do eixo real inteiro. Logo o resultado da integral iterada é infinito (diverge), independentemente das integrais em u e v que sejam finitas ou não.
Passo 8
Conclusão e interpretação: como o domínio é ilimitado na direção w e a integranda é positiva e não nula em uma faixa de u, o volume “infinito” na direção w faz com que a integral triple seja divergente. Em outras palavras, a mudança de variáveis revelou que a integral contém um fator infinito vindo da integral em w, portanto a integral tripla não converge.