O domínio B é descrito por duas desigualdades lineares: 0\leq x+2y+z\leq1 e 0\leq y+2z\leq1.
Não há outras restrições sobre x,y,z no enunciado (ou seja, apenas essas duas desigualdades).
Passo 2
Escolhemos uma mudança de variáveis linear que torna as expressões que aparecem no enunciado em coordenadas simples. Definimos
u = x+2y+z,\qquad v = y+2z,\qquad w = z.
Comentário didático curto: a ideia é transformar exatamente as combinações lineares que aparecem no integrando e nas desigualdades em novas variáveis; assim o integrando e as desigualdades ficam simples em u e v.
Passo 3
Expressamos (x,y,z) em função de (u,v,w) para poder inverter a mudança e calcular o Jacobiano. A partir de w=z e v=y+2z temos
y = v - 2w.
Substituindo em u = x+2y+z obtemos
x = u - 2y - z = u - 2(v-2w) - w = u - 2v +3w.
Portanto
x = u - 2v + 3w,\qquad y = v - 2w,\qquad z = w.
Passo 4
Calculamos o Jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z). A matriz de derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz (o Jacobiano) é 1. Assim o fator de mudança de variável é |\det|=1, ou seja
dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw.
Breve explicação da técnica: o Jacobiano mede como um pequeno volume em (u,v,w) se transforma em (x,y,z); aqui é 1, então volumes são preservados.]
Passo 5
Transformamos o integrando e o domínio. Observamos que, pelas definições,
e^{x+2y+z}\cos(y+2z) = e^{u}\cos(v),
logo o integrando fica muito simples em (u,v,w). As desigualdades que definem B tornam-se
0 \leq u \leq 1,\qquad 0 \leq v \leq 1.
Não há nenhuma desigualdade envolvendo w (porque as duas dadas no enunciado dependem apenas de u e v), portanto w varia livremente por toda a reta, isto é w\in(-\infty,\infty).
Passo 6
Reescrevemos a integral na nova parametrização. Usando dx\,dy\,dz=du\,dv\,dw e as expressões acima,
A integral \int_{-\infty}^{\infty} 1\;dw é claramente divergente (vale +\infty). Assim, para qualquer par (u,v) com e^{u}\cos(v)\neq0 a integral em w é divergente em magnitude (tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal de \cos(v)). Além disso podemos argumentar com a integral do valor absoluto:
portanto a integral não é absolutamente convergente e, de fato, não converge como integral imprópria usual.
Passo 8
Conclusão: a integral tripla sobre B não converge (é divergente), porque o domínio B é um “prisma infinito” na direção correspondente a w e o integrando não decai nessa direção (é independente de w). Logo a integral imprópria diverge.
Resposta
A integral diverge (não converge; valor impróprio infinito).