Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
\iiint_{B} e^{x+2 y+z} \cos (y+2 z) \quad onde \quad B:=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x+2 y+z \leq 1,0 \leq y+2 z \leq 1\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B} e^{x+2y+z}\cos(y+2z)\,dV
onde o conjunto B é dado por
B := \{(x,y,z)\mid 0 \leq x+2y+z \leq 1,\; 0 \leq y+2z \leq 1\}.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{x+2y+z}\cos(y+2z).
  • O domínio B é descrito por duas desigualdades lineares: 0\leq x+2y+z\leq1 e 0\leq y+2z\leq1.
  • Não há outras restrições sobre x,y,z no enunciado (ou seja, apenas essas duas desigualdades).

Passo 2

Escolhemos uma mudança de variáveis linear que torna as expressões que aparecem no enunciado em coordenadas simples. Definimos
u = x+2y+z,\qquad v = y+2z,\qquad w = z.
Comentário didático curto: a ideia é transformar exatamente as combinações lineares que aparecem no integrando e nas desigualdades em novas variáveis; assim o integrando e as desigualdades ficam simples em u e v.

Passo 3

Expressamos (x,y,z) em função de (u,v,w) para poder inverter a mudança e calcular o Jacobiano. A partir de w=z e v=y+2z temos
y = v - 2w.
Substituindo em u = x+2y+z obtemos
x = u - 2y - z = u - 2(v-2w) - w = u - 2v +3w.
Portanto
x = u - 2v + 3w,\qquad y = v - 2w,\qquad z = w.

Passo 4

Calculamos o Jacobiano da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z). A matriz de derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v & \partial x/\partial w\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v & \partial y/\partial w\\[4pt] \partial z/\partial u & \partial z/\partial v & \partial z/\partial w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz (o Jacobiano) é 1. Assim o fator de mudança de variável é |\det|=1, ou seja
dx\,dy\,dz = du\,dv\,dw.
Breve explicação da técnica: o Jacobiano mede como um pequeno volume em (u,v,w) se transforma em (x,y,z); aqui é 1, então volumes são preservados.]

Passo 5

Transformamos o integrando e o domínio. Observamos que, pelas definições,
e^{x+2y+z}\cos(y+2z) = e^{u}\cos(v),
logo o integrando fica muito simples em (u,v,w). As desigualdades que definem B tornam-se
0 \leq u \leq 1,\qquad 0 \leq v \leq 1.
Não há nenhuma desigualdade envolvendo w (porque as duas dadas no enunciado dependem apenas de u e v), portanto w varia livremente por toda a reta, isto é w\in(-\infty,\infty).

Passo 6

Reescrevemos a integral na nova parametrização. Usando dx\,dy\,dz=du\,dv\,dw e as expressões acima,
\iiint_{B} e^{x+2y+z}\cos(y+2z)\,dV = \int_{v=0}^{1}\int_{u=0}^{1}\int_{w=-\infty}^{\infty} e^{u}\cos(v)\;dw\,du\,dv.
Note que o integrando e^{u}\cos(v) não depende de w.

Passo 7

Analisamos a integral iterada em w. Para (u,v) fixos com \cos(v)\neq0 temos
\int_{w=-\infty}^{\infty} e^{u}\cos(v)\;dw = e^{u}\cos(v)\int_{-\infty}^{\infty} 1\;dw.
A integral \int_{-\infty}^{\infty} 1\;dw é claramente divergente (vale +\infty). Assim, para qualquer par (u,v) com e^{u}\cos(v)\neq0 a integral em w é divergente em magnitude (tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal de \cos(v)). Além disso podemos argumentar com a integral do valor absoluto:
\iiint_{B} |e^{x+2y+z}\cos(y+2z)|\,dV = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \left(|e^{u}\cos(v)|\int_{-\infty}^{\infty}1\,dw\right) du\,dv = \infty,
portanto a integral não é absolutamente convergente e, de fato, não converge como integral imprópria usual.

Passo 8

Conclusão: a integral tripla sobre B não converge (é divergente), porque o domínio B é um “prisma infinito” na direção correspondente a w e o integrando não decai nessa direção (é independente de w). Logo a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge; valor impróprio infinito).

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