Questão 3 (1,0 pt) Se
□ Nenhuma das alternativas
então
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□ Nenhuma das alternativas □
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□ Nenhuma das alternativas
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Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede calcular
, a transformada de Laplace de
. As informações relevantes são: o valor de
para
e que
para
. Não precisamos do valor em pontos isolados (como
ou
) para a integral da transformada.]
Passo 2
Definição útil: a transformada de Laplace de uma função
é
onde normalmente assumimos
para convergência. Como
para
, a integral se reduz ao intervalo de
a
:
Passo 3
Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
Agora vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 4
Calcule
. A antiderivada de
em relação a
é
. Portanto,
Passo 5
Calcule
por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolha
(então
) e
(então
). Aplicando:
Substituindo o resultado da integral do passo anterior:
Passo 6
Volte à expressão original e combine os resultados:
Distribuindo o sinal e reorganizando:
Agrupando termos semelhantes dá
(Verificação rápida: expandindo o lado direito obtém-se exatamente a expressão anterior.)
Passo 7
Concluímos que a transformada de Laplace de
é a expressão obtida no passo anterior, que coincide com a alternativa