Questão 3 (1,0 pt) Se
□ Nenhuma das alternativas
f(t)=\left\{\begin{array}{ccc} 1-t & \text { se } & 0<t \leq 2 \\\\ 0 & \text { se } & t>2 \end{array}\right.
então \mathcal{L}[f(t)]=
\left(e^{-2 s}+1\right)\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)-\frac{2}{s^{2}} □ Nenhuma das alternativas □ e^{-2 s}+1+\frac{1}{s^{2}}
e^{-2 s}+\frac{1}{s^{2}} \left(1-e^{-2 s}\right)\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)=\begin{cases} 1-t & \text{se } 0<t\leq 2,\\[4pt] 0 & \text{se } t>2, \end{cases}
e pede calcular \mathcal{L}[f(t)], a transformada de Laplace de f. As informações relevantes são: o valor de f(t) para 0<t\leq2 e que f(t)=0 para t>2. Não precisamos do valor em pontos isolados (como t=0 ou t=2) para a integral da transformada.]

Passo 2

Definição útil: a transformada de Laplace de uma função f é
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde normalmente assumimos \Re(s)>0 para convergência. Como f(t)=0 para t>2, a integral se reduz ao intervalo de 0 a 2:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{2}e^{-st}(1-t)\,dt.

Passo 3

Separe a integral em duas partes (linearidade da integral):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{2}e^{-st}\,dt-\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt.
Agora vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Calcule \int_{0}^{2}e^{-st}\,dt. A antiderivada de e^{-st} em relação a t é -\dfrac{1}{s}e^{-st}. Portanto,
\int_{0}^{2}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{2}=\left(-\frac{1}{s}e^{-2s}\right)-\left(-\frac{1}{s}e^{0}\right)=\frac{1-e^{-2s}}{s}.

Passo 5

Calcule \int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv-\int v\,du.
Escolha u=t (então du=dt) e dv=e^{-st}\,dt (então v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}). Aplicando:
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{2}+\frac{1}{s}\int_{0}^{2}e^{-st}\,dt.
Substituindo o resultado da integral do passo anterior:
\int_{0}^{2}t\,e^{-st}\,dt=-\frac{2}{s}e^{-2s}+\frac{1}{s}\cdot\frac{1-e^{-2s}}{s}=-\frac{2}{s}e^{-2s}+\frac{1-e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 6

Volte à expressão original e combine os resultados:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-2s}}{s}-\left(-\frac{2}{s}e^{-2s}+\frac{1-e^{-2s}}{s^{2}}\right).
Distribuindo o sinal e reorganizando:
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{1-e^{-2s}}{s}+\frac{2}{s}e^{-2s}-\frac{1-e^{-2s}}{s^{2}}.
Agrupando termos semelhantes dá
\mathcal{L}\{f(t)\}=\left(e^{-2s}+1\right)\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)-\frac{2}{s^{2}}.
(Verificação rápida: expandindo o lado direito obtém-se exatamente a expressão anterior.)

Passo 7

Concluímos que a transformada de Laplace de f é a expressão obtida no passo anterior, que coincide com a alternativa
\left(e^{-2s}+1\right)\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)-\frac{2}{s^{2}}.

Resposta

\left(e^{-2 s}+1\right)\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)-\frac{2}{s^{2}}

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