Questão 2: Usando as estratégias vistas em sala, calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e .
Objetivo: obter o valor exato da integral (ou uma forma fechada em termos de funções especiais, se necessário).
Passo 2
Escolher uma substituição natural: a expressão
sugere trocar a variável por
, porque isso simplifica a raiz. Fazer a substituição passo a passo.
Defina
Então
e derivando ambos os lados,
Os limites transformam-se assim:
Passo 3
Substituir na integral original usando
e
.
Começamos com o integrando:
E
. Logo a integral fica
Simplificando as potências de
:
Portanto
Passo 4
Reconhecer a forma da integral resultante como a função Beta. Vou apresentar o que é a função Beta e como usá-la.
Definição (função Beta):
válida para
.
Comparando com
, escrevemos as potências no formato
e
:
Portanto podemos identificar
Logo a integral é
Passo 5
Usar a relação entre Beta e Gamma para obter uma forma mais explícita. A identidade é
onde
é a função Gama.
Aplicando com
e
:
Somando os argumentos do denominador:
Logo
Passo 6
Simplificar o fator
, que é um valor clássico e fácil de lembrar:
Substituindo:
Observação amigável:
e
não reduzem a valores racionais simples, por isso a forma em termos de funções Gama (ou Beta) é o resultado exato mais conveniente. Dá para obter um valor numérico com calculadora se precisar conferir.