Questão 2: Usando as estratégias vistas em sala, calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1-x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x^{3}\sqrt{1-x^{3}}.
  • Os limites de integração são 0 e 1.
    Objetivo: obter o valor exato da integral (ou uma forma fechada em termos de funções especiais, se necessário).

Passo 2

Escolher uma substituição natural: a expressão 1-x^{3} sugere trocar a variável por u=x^{3}, porque isso simplifica a raiz. Fazer a substituição passo a passo.
Defina
u = x^{3}.
Então
x = u^{1/3}
e derivando ambos os lados,
dx = \frac{1}{3} u^{-2/3}\,du.
Os limites transformam-se assim:
x=0 \Rightarrow u=0,\qquad x=1 \Rightarrow u=1.

Passo 3

Substituir na integral original usando u e dx.
Começamos com o integrando:
x^{3}\sqrt{1-x^{3}} = u\sqrt{1-u}.
E dx = \dfrac{1}{3}u^{-2/3}\,du. Logo a integral fica
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx = \int_{0}^{1} u\sqrt{1-u}\cdot\frac{1}{3}u^{-2/3}\,du.
Simplificando as potências de u:
u\cdot u^{-2/3} = u^{1-2/3}=u^{1/3}.
Portanto
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} u^{1/3}(1-u)^{1/2}\,du.

Passo 4

Reconhecer a forma da integral resultante como a função Beta. Vou apresentar o que é a função Beta e como usá-la.
Definição (função Beta):
B(a,b)=\int_{0}^{1} t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt,
válida para \Re(a)>0,\\ \Re(b)>0.
Comparando com \dfrac{1}{3}\int_{0}^{1} u^{1/3}(1-u)^{1/2}\,du, escrevemos as potências no formato t^{a-1} e (1-t)^{b-1}:
u^{1/3} = u^{(4/3)-1}\quad\text{e}\quad (1-u)^{1/2}=(1-u)^{(3/2)-1}.
Portanto podemos identificar
a=\frac{4}{3},\qquad b=\frac{3}{2}.
Logo a integral é
\frac{1}{3}B\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Usar a relação entre Beta e Gamma para obter uma forma mais explícita. A identidade é
B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)},
onde \Gamma é a função Gama.
Aplicando com a=\tfrac{4}{3} e b=\tfrac{3}{2}:
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}+\tfrac{3}{2}\right)}.
Somando os argumentos do denominador:
\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{8+9}{6}=\frac{17}{6}.
Logo
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{17}{6}\right)}.

Passo 6

Simplificar o fator \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right), que é um valor clássico e fácil de lembrar:
\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},\qquad \Gamma\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
Substituindo:
\int_{0}^{1} x^{3}\sqrt{1-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{17}{6}\right)} = \frac{1}{6}\sqrt{\pi}\,\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{17}{6}\right)}.
Observação amigável: \Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right) e \Gamma\!\left(\tfrac{17}{6}\right) não reduzem a valores racionais simples, por isso a forma em termos de funções Gama (ou Beta) é o resultado exato mais conveniente. Dá para obter um valor numérico com calculadora se precisar conferir.

Resposta

\frac{1}{3}B\!\left(\tfrac{4}{3},\tfrac{3}{2}\right)
\frac{1}{6}\sqrt{\pi}\,\frac{\Gamma\!\left(\tfrac{4}{3}\right)}{\Gamma\!\left(\tfrac{17}{6}\right)}

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