Utilize frações parciais para resolver as seguintes integrais:
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • O integrando é \dfrac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
  • Não há condições adicionais sobre x; observar que x=0 é singular e x^{2}+4>0 para todo x.
  • A técnica indicada é decompor a função em frações parciais e integrar termo a termo.

Passo 2

Motivação da decomposição por frações parciais (forma a usar).
Quando aparece um fator linear distinto x e um fator quadrático irreduzível \left(x^{2}+4\right) elevado a uma potência (aqui ao quadrado), a forma geral da decomposição é
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4}+\frac{Dx+E}{\left(x^{2}+4\right)^{2}},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar. Explico por quê, passo a passo:
  • Para o fator linear x usamos \dfrac{A}{x}.
  • Para o fator quadrático \left(x^{2}+4\right) usamos um numerador linear (Bx+C) porque o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador (2).
  • Como o quadrático aparece ao quadrado, repetimos com um termo sobre \left(x^{2}+4\right)^{2} com outro numerador linear (Dx+E).

Passo 3

Multiplicando a identidade por x\left(x^{2}+4\right)^{2} obtemos a identidade polinomial
1 = A\left(x^{2}+4\right)^{2} + x(Bx+C)\left(x^{2}+4\right) + x(Dx+E).
Agora vamos expandir cada termo para comparar coeficientes.
Calculemos cada parte:
A\left(x^{2}+4\right)^{2} = A\left(x^{4}+8x^{2}+16\right) = A x^{4} + 8A x^{2} + 16A.
x(Bx+C)\left(x^{2}+4\right) = x\big(Bx^{3}+4Bx+Cx^{2}+4C\big) = B x^{4} + C x^{3} + 4B x^{2} + 4C x.
x(Dx+E) = D x^{2} + E x.
Somando tudo:
1 = (A+B) x^{4} + C x^{3} + (8A+4B+D) x^{2} + (4C+E) x + 16A.

Passo 4

Igualando coeficientes com o polinômio constante 1 = 0\cdot x^{4}+0\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+0\cdot x + 1\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = 0,\\[4pt] 8A + 4B + D = 0,\\[4pt] 4C + E = 0,\\[4pt] 16A = 1. \end{cases}
Resolvendo:
16A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{16}.
Então
B = -A = -\tfrac{1}{16}.
De C=0\] segue \(C=0. De 4C+E=0 com C=0 segue E=0.
Finalmente, usando 8A+4B+D=0:
8\cdot\tfrac{1}{16} + 4\cdot\big(-\tfrac{1}{16}\big) + D = 0
\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + D = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{4}+D=0 \quad\Rightarrow\quad D=-\tfrac{1}{4}.
Portanto as constantes são
A=\tfrac{1}{16},\quad B=-\tfrac{1}{16},\quad C=0,\quad D=-\tfrac{1}{4},\quad E=0.]

Passo 5

Escrevendo a decomposição encontrada:
\frac{1}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} = \frac{1}{16}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{16}\cdot\frac{x}{x^{2}+4} - \frac{1}{4}\cdot\frac{x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.
Vamos integrar termo a termo:
\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+4\right)^{2}} = \frac{1}{16}\int\frac{dx}{x} - \frac{1}{16}\int\frac{x\,dx}{x^{2}+4} - \frac{1}{4}\int\frac{x\,dx}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}.

Passo 6

Integral do primeiro termo.
\frac{1}{16}\int\frac{dx}{x} = \frac{1}{16}\ln|x|.
Lembrando que \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C.

Passo 7

Integral do segundo termo: use a substituição \;u=x^{2}+4\;, então \;du=2x\,dx\; e x\,dx=\dfrac{du}{2}.
- \frac{1}{16}\int\frac{x\,dx}{x^{2}+4} = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2}\int\frac{du}{u} = -\frac{1}{32}\ln u = -\frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right).
Observação: x^{2}+4>0, então não é necessário o valor absoluto dentro do log, mas escrever \ln(x^{2}+4) é suficiente.

Passo 8

Integral do terceiro termo: novamente use \;u=x^{2}+4,\;du=2x\,dx,\;x\,dx=\dfrac{du}{2}.
- \frac{1}{4}\int\frac{x\,dx}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} = -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = -\frac{1}{8}\cdot\left(-\frac{1}{u}\right) = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{u} = \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.
Usei que \int u^{-2}\,du = -u^{-1}+C.

Passo 9

Somando as três primitivadas e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada:
\frac{1}{16}\ln|x| - \frac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right) + \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x^{2}+4} + C.

Resposta

\dfrac{1}{16}\ln|x|-\dfrac{1}{32}\ln\left(x^{2}+4\right)+\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{x^{2}+4}+C

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