Utilize frações parciais para resolver as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
. - Não há condições adicionais sobre
; observar que é singular e para todo . - A técnica indicada é decompor a função em frações parciais e integrar termo a termo.
Passo 2
Motivação da decomposição por frações parciais (forma a usar).
Quando aparece um fator linear distinto e um fator quadrático irreduzível
elevado a uma potência (aqui ao quadrado), a forma geral da decomposição é
Quando aparece um fator linear distinto
onde
são constantes a determinar. Explico por quê, passo a passo:
- Para o fator linear
usamos . - Para o fator quadrático
usamos um numerador linear porque o grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador (2). - Como o quadrático aparece ao quadrado, repetimos com um termo sobre
com outro numerador linear .
Passo 3
Multiplicando a identidade por
obtemos a identidade polinomial
Agora vamos expandir cada termo para comparar coeficientes.
Calculemos cada parte:
Somando tudo:
Passo 4
Igualando coeficientes com o polinômio constante
Resolvendo:
Então
De
. De
com
segue
.
Finalmente, usando
:
Portanto as constantes são
Passo 5
Escrevendo a decomposição encontrada:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 6
Integral do primeiro termo.
Lembrando que
.
Passo 7
Integral do segundo termo: use a substituição
, então
e
.
Observação:
, então não é necessário o valor absoluto dentro do log, mas escrever
é suficiente.
Passo 8
Integral do terceiro termo: novamente use
.
Usei que
.
Passo 9
Somando as três primitivadas e incluindo a constante de integração
, obtemos a antiderivada: