Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
O volume do sólido limitado pela superfície de equação 2 x^{2}+5 y^{2}-2 x y+z^{2}=9.
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
2x^{2}+5y^{2}-2xy+z^{2}=9
e pede o volume do sólido limitado por essa superfície (ou seja, o volume da região \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 2x^{2}+5y^{2}-2xy+z^{2}\le 9\}).
Informações relevantes dadas: os coeficientes do termo quadrático em x,y são 2 (para x^{2}), 5 (para y^{2}) e o termo misto é -2xy; o coeficiente de z^{2} é 1. A região é um elipsoide (forma quadrática positiva definida igual a constante).
Passo 2
Primeiro vamos analisar a parte em x,y. Podemos ver a forma quadrática em x,y como
Q(x,y)=2x^{2}-2xy+5y^{2}.
Para trabalhar com esse tipo de expressão é útil representá-la por uma matriz simétrica A tal que Q(x,y)=[x\;y]\,A\,[x\;y]^{T}. A matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix},
porque a forma geral [x\;y]\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}[x\;y]^{T}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}, e aqui queremos 2b=-2\Rightarrow b=-1.
Passo 3
Para diagonalizar Q (eliminar o termo misto), calculamos os autovalores de A. Eles são raízes do polinômio característico
Denotando \lambda_{1}=\dfrac{7+\sqrt{13}}{2} e \lambda_{2}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}, temos que ambos são positivos (logo A é definida positiva).
Passo 4
Existe uma transformação ortogonal (rotação) nos eixos x,y que leva (x,y) para coordenadas (u,v) tais que
Q(x,y)=\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}.
Como a transformação é ortogonal, seu determinante vale \pm 1 e o fator de escala do volume (o jacobiano absoluto) nessa rotação é 1. Além disso, a coordenada z permanece igual (não há mistura com x,y). Portanto, na nova base (u,v,z) a equação do elipsoide fica
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}+z^{2}=9.
Passo 5
Agora escrevemos essa equação em forma padrão de elipsoide dividindo por 9: