Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
O volume do sólido limitado pela superfície de equação 2 x^{2}+5 y^{2}-2 x y+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
2x^{2}+5y^{2}-2xy+z^{2}=9
e pede o volume do sólido limitado por essa superfície (ou seja, o volume da região \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 2x^{2}+5y^{2}-2xy+z^{2}\le 9\}).
Informações relevantes dadas: os coeficientes do termo quadrático em x,y são 2 (para x^{2}), 5 (para y^{2}) e o termo misto é -2xy; o coeficiente de z^{2} é 1. A região é um elipsoide (forma quadrática positiva definida igual a constante).

Passo 2

Primeiro vamos analisar a parte em x,y. Podemos ver a forma quadrática em x,y como
Q(x,y)=2x^{2}-2xy+5y^{2}.
Para trabalhar com esse tipo de expressão é útil representá-la por uma matriz simétrica A tal que Q(x,y)=[x\;y]\,A\,[x\;y]^{T}. A matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix},
porque a forma geral [x\;y]\begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}[x\;y]^{T}=ax^{2}+2bxy+cy^{2}, e aqui queremos 2b=-2\Rightarrow b=-1.

Passo 3

Para diagonalizar Q (eliminar o termo misto), calculamos os autovalores de A. Eles são raízes do polinômio característico
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1 \\\\ -1 & 5-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(5-\lambda)-1.
Calculando:
(2-\lambda)(5-\lambda)-1=\lambda^{2}-7\lambda+9.
As raízes são
\lambda=\frac{7\pm\sqrt{49-36}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}.
Denotando \lambda_{1}=\dfrac{7+\sqrt{13}}{2} e \lambda_{2}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}, temos que ambos são positivos (logo A é definida positiva).

Passo 4

Existe uma transformação ortogonal (rotação) nos eixos x,y que leva (x,y) para coordenadas (u,v) tais que
Q(x,y)=\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}.
Como a transformação é ortogonal, seu determinante vale \pm 1 e o fator de escala do volume (o jacobiano absoluto) nessa rotação é 1. Além disso, a coordenada z permanece igual (não há mistura com x,y). Portanto, na nova base (u,v,z) a equação do elipsoide fica
\lambda_{1}u^{2}+\lambda_{2}v^{2}+z^{2}=9.

Passo 5

Agora escrevemos essa equação em forma padrão de elipsoide dividindo por 9:
\frac{\lambda_{1}u^{2}}{9}+\frac{\lambda_{2}v^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{9}=1
ou, reescrevendo como quadrados de distâncias,
\left(\frac{u}{3/\sqrt{\lambda_{1}}}\right)^{2}+\left(\frac{v}{3/\sqrt{\lambda_{2}}}\right)^{2}+\left(\frac{z}{3}\right)^{2}=1.
Isso mostra que os semi-eixos do elipsoide são
a=\frac{3}{\sqrt{\lambda_{1}}},\qquad b=\frac{3}{\sqrt{\lambda_{2}}},\qquad c=3.

Passo 6

Fórmula conhecida (e fácil de justificar por mudança de variáveis) para o volume V de um elipsoide com semi-eixos a,b,c é
V=\frac{4}{3}\pi\,abc.
Aplicando aqui,
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{3}{\sqrt{\lambda_{1}}}\cdot\frac{3}{\sqrt{\lambda_{2}}}\cdot 3 =\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{27}{\sqrt{\lambda_{1}\lambda_{2}}}.

Passo 7

Agora simplificamos usando \lambda_{1}\lambda_{2}=\det(A). Calculamos \det(A) diretamente da matriz:
\det(A)=2\cdot 5-(-1)\cdot(-1)=10-1=9.
Portanto \lambda_{1}\lambda_{2}=9 e \sqrt{\lambda_{1}\lambda_{2}}=3. Substituindo na expressão do volume:
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{27}{3}=\frac{4}{3}\pi\cdot 9=12\pi.

Resposta

12\pi

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