Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
O volume do sólido limitado pelo cilindro de equação
e pelos planos determinados por
.
O volume do sólido limitado pelo cilindro de equação
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro de equação
e pelos planos determinados por
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície lateral é o cilindro com seção no plano
dada por . Portanto a região de projeção no plano é o conjunto . - As duas “tampas” do sólido são os planos
e . O sólido consiste dos pontos com . Observação importante: para haver pontos com precisamos ter . Logo a região efetiva no plano é a parte de onde . - Objetivo final: calcular o volume
desse sólido.
Passo 2
Escrever o volume como integral dupla sobre a região de projeção no plano
. Para cada
na região válida, a altura do sólido vale
. Portanto
onde
.
Aqui é o elemento de área no plano
. Nossa próxima tarefa é simplificar a região
usando mudança de variáveis adequada, para facilitar a integração.
Aqui
Passo 3
Observar a forma quadrática do cilindro e procurar uma mudança de variáveis simples que a torne circular. Notamos que
Isso sugere a mudança linear
Com essa escolha a equação do cilindro fica
, ou seja, um disco de raio
no plano
. Além disso a condição
vira simplesmente
. Essa mudança é, portanto, muito conveniente.
Passo 4
Precisamos do mapa inverso e do Jacobiano para trocar a integral. Da definição
obtemos a inversa:
Agora calculamos o Jacobiano
. A matriz Jacobiana é
portanto
Como
, o elemento de área não sofre escala além da rotação/translação implícita:
.]
Passo 5
Mapeando a região
para o plano
:
- A desigualdade do cilindro vira
, ou seja, o disco de raio centrado na origem. - A condição
vira . Logo a região corresponde ao semidisco
ou seja, o disco de raio
cortado pela semirreta
(metade direita do disco).
Na nova variável, a função integranda
torna-se simplesmente
. Assim a integral do volume passa a ser
Passo 6
Para calcular
é natural usar coordenadas polares no plano
. Façamos
com
e
variando para cobrir a metade direita do disco:
. O raio vai de
a
. O elemento de área é
. Portanto
Passo 7
Calcular a integral em
primeiro:
Então
Agora a integral em
:
Passo 8
Multiplicando os resultados:
Portanto o volume do sólido pedido é
.