Questão 5. Usando mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais:
O volume do sólido limitado pelo cilindro de equação x^{2}+2 x y+2 y^{2}=4 e pelos planos determinados por z=0, z=x+y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro de equação \;x^{2}+2xy+2y^{2}=4\; e pelos planos determinados por \;z=0\; e \;z=x+y\;.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície lateral é o cilindro com seção no plano xy dada por \;x^{2}+2xy+2y^{2}=4\;. Portanto a região de projeção no plano xy é o conjunto \;D=\{(x,y)\mid x^{2}+2xy+2y^{2}\le 4\}.
  • As duas “tampas” do sólido são os planos \;z=0\; e \;z=x+y\;. O sólido consiste dos pontos com \;0\le z\le x+y\;. Observação importante: para haver pontos com 0\le z\le x+y precisamos ter x+y\ge 0. Logo a região efetiva no plano xy é a parte de D onde x+y\ge0.
  • Objetivo final: calcular o volume V desse sólido.

Passo 2

Escrever o volume como integral dupla sobre a região de projeção no plano xy. Para cada (x,y) na região válida, a altura do sólido vale x+y-0=x+y. Portanto
V=\iint_{D'} (x+y)\,dA,
onde D'=\{(x,y)\mid x^{2}+2xy+2y^{2}\le 4,\; x+y\ge 0\}.
Aqui dA é o elemento de área no plano xy. Nossa próxima tarefa é simplificar a região D' usando mudança de variáveis adequada, para facilitar a integração.

Passo 3

Observar a forma quadrática do cilindro e procurar uma mudança de variáveis simples que a torne circular. Notamos que
x^{2}+2xy+2y^{2}=(x+y)^{2}+y^{2}.
Isso sugere a mudança linear
u=x+y,\qquad v=y.
Com essa escolha a equação do cilindro fica \;u^{2}+v^{2}=4\;, ou seja, um disco de raio 2 no plano uv. Além disso a condição x+y\ge 0 vira simplesmente u\ge 0. Essa mudança é, portanto, muito conveniente.

Passo 4

Precisamos do mapa inverso e do Jacobiano para trocar a integral. Da definição \;u=x+y,\; v=y\; obtemos a inversa:
y=v,\qquad x=u-v.
Agora calculamos o Jacobiano \;J=\det\!\left(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right). A matriz Jacobiana é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\[4pt] \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix},
portanto
J=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1.
Como |J|=1, o elemento de área não sofre escala além da rotação/translação implícita: dA=dudv.]

Passo 5

Mapeando a região D' para o plano uv:
  • A desigualdade do cilindro vira u^{2}+v^{2}\le 4, ou seja, o disco de raio 2 centrado na origem.
  • A condição x+y\ge 0 vira u\ge 0. Logo a região D' corresponde ao semidisco
D_{uv}=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 4,\; u\ge 0\},
ou seja, o disco de raio 2 cortado pela semirreta u\ge0 (metade direita do disco).
Na nova variável, a função integranda \;x+y\; torna-se simplesmente \;u. Assim a integral do volume passa a ser
V=\iint_{D_{uv}} u\,du\,dv.

Passo 6

Para calcular \iint_{D_{uv}} u\,du\,dv é natural usar coordenadas polares no plano uv. Façamos
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta variando para cobrir a metade direita do disco: \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. O raio vai de 0 a 2. O elemento de área é dudv=r\,dr\,d\theta. Portanto
V=\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2} (r\cos\theta)\, (r\,dr\,d\theta) =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r primeiro:
\int_{0}^{2} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
Então
V=\frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta.
Agora a integral em \theta:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=[\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=1-(-1)=2.

Passo 8

Multiplicando os resultados:
V=\frac{8}{3}\cdot 2=\frac{16}{3}.
Portanto o volume do sólido pedido é \dfrac{16}{3}.

Resposta

\dfrac{16}{3}

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