Esboce o gráfico das equações polares. Determine o menor intervalo de theta para produzir o gráfico completamente.
r=2 sen(2 theta)

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico em coordenadas polares da função
r = 2,senl(2thetar)
e quer o menor intervalo de theta que gera o gráfico completo.
Conteúdo: rosas em coordenadas polares. Para resolver, vamos usar que, para r = asin(ntheta):
1. Se n é par, a rosa tem 2n pétalas.
2. O período de sin(ntheta) é T = 2pin.

Passo 2

Determine os zeros e extremos de r e o período de repetição:
  • Zeros de r:
r=0 iff sin(2theta)=0 iff 2theta = kpi iff theta = kpi2,;kinZ
Esses valores dividem o gráfico em arcos onde surgem as pétalas.
  • Extremos de lvert rrvert:
maxlvert rrvert=2 ocorre quando sin(2theta)=pm1 Longrightarrow 2theta = pi2 + kpi Longrightarrow theta = pi4 + kpi2
  • Período de sin(2theta):
T = 2pi2 = pi
Isso significa que o padrão de pétalas se repete a cada pi em theta.

Passo 3

Número e posição das pétalas:
  • Como n=2 é par, há 2n=4 pétalas.
  • Em cada subintervalo entre zeros theta=kpi2 e theta=(k+1)pi2 surge uma pétala.
  • Nos pontos theta=pi4,3pi4,5pi4,7pi4 temos lvert rrvert=2. Quando sin(2theta)>0 (ex.: theta=pi4,5pi4) a pétala fica no quadrante correspondente; quando sin(2theta)<0 (ex.: theta=3pi4,7pi4) o valor negativo de r inverte a direção em 180^circ, formando as outras pétalas.

Passo 4

Esboço do gráfico (descrição):
1. Marque no polo os ângulos theta=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2,2pi.
2. Em cada intervalo [kpi/2,(k+1)pi/2] calcule r(theta), variando de 0 até pm2 e de volta a 0.
3. Desenhe as quatro pétalas de comprimento 2, apontando aproximadamente para theta=pi/4,3pi/4,5pi/4,7pi/4.

Resposta

O menor intervalo de theta que produz o gráfico completo é
boxed0 <= theta <= pi

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