Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum 1n-raizn

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n-raizn
usando o teste da comparação ou comparação por limites. Estamos em séries numéricas de termos positivos; vamos comparar com a série harmônica sum1/n, que é conhecida por divergir.

Passo 2

Definimos
an = 1n-raizn e bn = 1n,
Usamos o teste de comparação por limites, que diz que se
L = limntoinftyanbn
existe finito e 0<L<infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Calculamos
limntoinftyanbn =limntoinfty1,n-raizn,1n =limntoinftyn,n-raizn, =limntoinfty11 - 1/raizn =1

Passo 3

Como o limite L=1 é finito e não nulo, a série sum an converge ou diverge junto com sum bn. Mas sum bn = sum 1/n é a série harmônica, que diverge. Portanto, a série dada também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1n-raizn diverge.

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