Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
usando o teste da comparação direta. A ideia desse teste é: se tivermos duas séries com termos não-negativos e
tais que
para
suficientemente grande e soubermos que
converge, então
também converge. Como comparação natural, vamos usar uma série geométrica, pois sabemos que
converge sempre que
.\n
usando o teste da comparação direta. A ideia desse teste é: se tivermos duas séries com termos não-negativos
Passo 2
Escolhemos a série geométrica
.
Para vale
, logo cada fator em
Para
é maior ou igual a
. Assim
o que implica
Como a série geométrica
converge (razão
), podemos aplicar o teste da comparação direta.\n
Passo 3
Pelo teste da comparação, visto que
a partir de
e é convergente, concluímos que
também converge.\n
e
Resposta
A série
converge por comparação com a série geométrica de razão
.\n