Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum 1n^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n^n
usando o teste da comparação direta. A ideia desse teste é: se tivermos duas séries com termos não-negativos sum an e sum bn tais que 0<= an<= bn para n suficientemente grande e soubermos que sum bn converge, então sum an também converge. Como comparação natural, vamos usar uma série geométrica, pois sabemos que sum r^n converge sempre que |r|<1.\n

Passo 2

Escolhemos a série geométrica
sumn=2^infty12^n.
Para n>=2 vale n>=2, logo cada fator em
n^n = ncdot ncdots n
é maior ou igual a 2. Assim
n^n >= 2^n,
o que implica
1n^n<=12^n
Como a série geométrica sumn=2^infty12^n converge (razão tfrac12), podemos aplicar o teste da comparação direta.\n

Passo 3

Pelo teste da comparação, visto que
1n^n<=12^n a partir de n=2
e sumn=1^infty12^n é convergente, concluímos que
sumn=1^infty1n^n também converge.\n

Resposta

A série sumn=1^infty1n^n converge por comparação com a série geométrica de razão tfrac12.\n

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