Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum sen(1n^2)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty sinl(tfrac1n^2r)
O conteúdo é séries numéricas e vamos usar o teste da comparação direta (e, a título de confirmação, o teste da comparação por limites) comparando com a série p‐série sum1/n^2.

Passo 2

Para n>=1 tem-se 0<tfrac1n^2<=1, logo, como em geral
0<sin t< tpara t>0,
segue
0<sinl(tfrac1n^2r)<tfrac1n^2

Passo 3

Sabemos que a p‐série
sumn=1^infty1n^2
converge, pois 2>1. Pelo teste da comparação direta, como
0<= sinl(tfrac1n^2r)<= 1n^2
e a série maior converge, concluímos que
sumn=1^inftysinl(tfrac1n^2r)
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a p‐série de expoente 2.

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