Questão 4. Usando o teste da comparação, ou comparação por limites, estude a convergência das séries a seguir:
sum arctg(n)n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty arctg(n)n
e pede para estudar sua convergência usando teste de comparação ou comparação por limites. Vamos comparar com a série harmônica sumn=1^infty 1n.

Passo 2

Defina
an = arctg(n)n, bn = 1n
Então, pelo teste de comparação por limites, calculamos
limntoinftyanbn = limntoinftyarctg(n) = pi2
Como esse limite é finito e estritamente positivo, as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento. Sabemos que
sumn=1^infty 1n
é divergente (série harmônica). Logo,
sumn=1^infty arctg(n)n
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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