Calcule as integrais a seguir.
integral0^pi / 2 sen(t)cos ^2(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria de uma função trigonométrica: integral0^pi/2 sin tcos^2 t ,dt. Vamos notar que podemos usar a relação entre derivada da função secante e o integrando.

Passo 2

Sabemos que sec t = 1cos t e sua derivada é dado por
ddtl(sec tr)=sec ttan t = 1cos tcdotsin tcos t=sin tcos^2 t

Passo 3

Portanto, uma primitiva de sin tcos^2 t é simplesmente sec t. Logo,
integral sin tcos^2 t ,dt = sec t + C

Passo 4

Como o limite superior pi/2 torna a integral imprópria (pois cos(pi/2)=0), escrevemos
integral0^pi/2 sin tcos^2 t ,dt = limbtopi/2^- l[sec tr]0^b = limbtopi/2^-l(sec b - sec 0r)

Passo 5

Calculando, temos sec 0=1 e à medida que btopi/2^-, cos bto0^+ faz sec b=1/cos bto+infty. Portanto o valor da integral cresce sem limite.
Concluímos que a integral diverge para +infty, isto é, não converge.

Resposta

A integral diverge (vale +∞).

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