Use derivação logaritmica para encontrar a derivada as seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y = (ln x)^raizx
usando derivação logarítmica. O conteúdo envolve aplicar logaritmo natural, diferenciar implicitamente e usar regras de derivada de produto e cadeia.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln y = lnl((ln x)^raizxr)
Como ln(a^b)=b,ln a, temos
ln y = raizx,lnl(ln xr)

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, a derivada de ln y é 1yy'. No lado direito temos um produto raizxcdotln(ln x), então
1y,y' = ddxl[raizx,ln(ln x)r]
Usando raizx=x^1/2 e a regra do produto:
ddxl[x^1/2r]=12raizx, ddxl[ln(ln x)r] =1ln xcdot1x,
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ddxl[raizx,ln(ln x)r] =ln(ln x)2raizx +raizx,1x,ln x =ln(ln x)2raizx +1raizx,ln x

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = yl(ln(ln x)2raizx+1raizx,ln xr)
Finalmente, voltamos a y=(ln x)^raizx:
y' = (ln x)^raizx l(ln(ln x)2raizx+1raizx,ln xr)

Resposta

y' = (ln x)^raizx l(ln(ln x)2raizx+1raizx,ln xr)

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