Questão 2. Use a definição de limite para mostrar que
\lim _{x \rightarrow 2} x^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to2}x^{2}=4
usando a definição formal de limite (critérios \varepsilon \delta). Ou seja, dado qualquer \varepsilon>0, devemos encontrar um \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-2|<\delta,
tenhamos
|x^2-4|<\varepsilon.

Passo 2

Primeiro, observe que
|x^2-4| = |x-2|\;\bigl|x+2\bigr|.
Nossa estratégia será controlar separadamente os fatores |x-2| e |x+2|.

Passo 3

Para limitar \bigl|x+2\bigr|, impomos adicionalmente que \delta\le1. Então, se 0<|x-2|<\delta\le1, segue
|x-2|<1 \quad\Longrightarrow\quad -1<x-2<1 \quad\Longrightarrow\quad 1<x<3 \quad\Longrightarrow\quad 3<x+2<5,
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\bigl|x+2\bigr|\le5.

Passo 4

Agora, dado um \varepsilon>0, escolha
\delta = \min\bigl(1,\;\tfrac{\varepsilon}{5}\bigr).
Então, sempre que 0<|x-2|<\delta, temos
|x^2-4| = |x-2|\;\bigl|x+2\bigr| < \delta\cdot5 \le \frac{\varepsilon}{5}\cdot5 = \varepsilon.
Isso completa a prova pelo critério \varepsilon \delta.

Resposta

Pela definição de limite, para todo \varepsilon>0 basta tomar \delta=\min(1,\varepsilon/5) para garantir |x^2-4|<\varepsilon sempre que 0<|x-2|<\delta. Portanto
\lim_{x\to2}x^2 = 4.

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