Questão 2. Use a definição de limite para mostrar que
\lim _{x \rightarrow 2} x^{2}=4
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to2}x^{2}=4
usando a definição formal de limite (critérios \varepsilon–\delta). Ou seja, dado qualquer \varepsilon>0, devemos encontrar um \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-2|<\delta,
tenhamos
|x^2-4|<\varepsilon.
Passo 2
Primeiro, observe que
|x^2-4| = |x-2|\;\bigl|x+2\bigr|.
Nossa estratégia será controlar separadamente os fatores |x-2| e |x+2|.
Passo 3
Para limitar \bigl|x+2\bigr|, impomos adicionalmente que \delta\le1. Então, se 0<|x-2|<\delta\le1, segue
Isso completa a prova pelo critério \varepsilon–\delta.
Resposta
Pela definição de limite, para todo \varepsilon>0 basta tomar \delta=\min(1,\varepsilon/5) para garantir |x^2-4|<\varepsilon sempre que 0<|x-2|<\delta. Portanto