Questão 3. Use a definição de limite para mostrar que
\lim _{x \rightarrow 0}(x-1)=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite, que a função
f(x)=x-1
tem
\lim_{x\to0}f(x)=-1.
O conteúdo aqui é a definição \varepsilon- \delta de limite para funções reais.

Passo 2

Relembrando a definição: dizemos que
\lim_{x\to0}f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
0<|x-0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

No nosso caso, L=-1 e f(x)=x-1. Vamos analisar a diferença
|f(x)-L| = |(x-1)-(-1)| = |x|.

Passo 4

Para garantir |f(x)-L|<\varepsilon basta exigir |x|<\varepsilon. Logo, dado \varepsilon>0, podemos escolher \delta = \varepsilon.
Então, sempre que
0<|x-0|<\delta,
temos
|f(x)-L| = |x| = |x-0| < \delta = \varepsilon.
Isso conclui a prova pelo critério \varepsilon- \delta.

Resposta

\lim_{x\to0}(x-1) = -1.

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