4.4M Seja
uma função contínua
-periódica. Dado um número real
, mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e
-periódica, isto é,
Queremos mostrar que a integral de
em qualquer intervalo de comprimento
não depende do ponto de partida. Em particular,
Passo 2
Definimos a família de integrais
de modo que o que queremos provar é
Passo 3
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo com parâmetro, obtemos a derivada de
:
Como
é
-periódica,
, logo
Isto mostra que
é constante em
.
Passo 4
Da constância de
segue
Mas, por definição,
Portanto,