4.4M Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua 2 L-periódica. Dado um número real a, mostre que:
\int_{a-L}^{a+L} f(x) d x=\int_{-L}^{L} f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e 2L-periódica, isto é,
f(x+2L)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que a integral de f em qualquer intervalo de comprimento 2L não depende do ponto de partida. Em particular,
\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx \;\stackrel{?}{=}\; \int_{-L}^{L}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos a família de integrais
I\text{(c)}=\int_{c}^{\,c+2L}f(x)\,dx,
de modo que o que queremos provar é
I(a-L)=I(-L).

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo com parâmetro, obtemos a derivada de I\text{(c)}:
I'\text{(c)} = f(c+2L)\,\frac{d}{dc}(c+2L)\;-\;f\text{(c)}\,\frac{d}{dc}\text{(c)} = f(c+2L)-f\text{(c)}.
Como f é 2L-periódica, f(c+2L)=f\text{(c)}, logo
I'\text{(c)}=0\quad\forall c.
Isto mostra que I\text{(c)} é constante em c.

Passo 4

Da constância de I\text{(c)} segue
I(a-L)=I(-L).
Mas, por definição,
I(a-L)=\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad I(-L)=\int_{-L}^{-L+2L}f(x)\,dx =\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.
Portanto,
\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx =\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.

Resposta

\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx = \int_{-L}^{L}f(x)\,dx.

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