Questão 9. Use o fato de que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico para determinar as dimensões de uma lata de refrigerante de 330 mL construída com a menor quantidade possível de metal. (Lembre-se de que o volume de um cilindro de raio r e altura h é pi r^2 h, a circunferência de um círculo de raio r é 2 pi r e a área de um círculo de raio r é pi r^2 ).

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um cilindro de volume V=330 mL=0,33 dm^3 que minimize a quantidade de metal, ou seja, minimize a área total de superfície. Como a lata é fechada em ambos os lados, a área total é
S(r,h)=2pi r^2+2pi r h,
com a restrição de volume
V=pi r^2h=0,33,

Passo 2

Da restrição de volume isolamos h:
h=Vpi r^2=0,33pi r^2,
Substituindo em S(r,h) obtemos
S(r)=2pi r^2+2pi rcdot0,33pi r^2 =2pi r^2+0,66r,

Passo 3

Para encontrar o mínimo, derivamos S(r) em relação a r e igualamos a zero:
S'(r)=4pi r-0,66r^2 Longrightarrow 4pi r-0,66r^2=0 Longrightarrow 4pi r^3=0,66 Longrightarrow r^3=0,664pi=0,332pi,
Logo
r=l(0,332pir)^!1/3,

Passo 4

Agora calculamos h usando h=0,33/(pi r^2). Primeiro escrevemos a forma exata:
r=l(V2pir)^!1/3, h=Vpi r^2 = 0,33pil(2pi0,33r)^!2/3 =2^2/3,pi^-1/3,V^1/3,

Passo 5

Em valores numéricos (convertendo para centímetros):
rapproxl(0,33/(2pi)r)^1/3,dmapprox0,375,dm=3,75,cm,
happrox0,33pi,(0,375)^2,dmapprox0,75,dm=7,50,cm
Note que happrox2r.

Resposta

O raio ótimo é rapprox3,75 cm e a altura é happrox7,50 cm.

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