Questão 9. Use o fato de que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico para determinar as dimensões de uma lata de refrigerante de 330 mL construída com a menor quantidade possível de metal. (Lembre-se de que o volume de um cilindro de raio
e altura
é
, a circunferência de um círculo de raio
é
e a área de um círculo de raio
é
).
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um cilindro de volume
que minimize a quantidade de metal, ou seja, minimize a área total de superfície. Como a lata é fechada em ambos os lados, a área total é
com a restrição de volume
Passo 2
Da restrição de volume isolamos
:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Logo
Passo 4
Agora calculamos
usando
. Primeiro escrevemos a forma exata:
Passo 5
Em valores numéricos (convertendo para centímetros):
Note que
.
Resposta
O raio ótimo é
e a altura é
.